Русская Википедия:Факториальное кольцо
Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент Шаблон:Mvar либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов Шаблон:Math, с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.
Определение
Более формально, факториальное кольцо определяется как область целостности Шаблон:Mvar, в которой каждый ненулевой элемент Шаблон:Mvar можно записать в виде произведения (пустого произведения, если Шаблон:Mvar обратим) неприводимых элементов Шаблон:Math и обратимого элемента Шаблон:Mvar:
и это разложение единственно в следующем смысле: Если Шаблон:Math — неприводимые элементы Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — обратимый элемент, такие что
то Шаблон:Math и существует биективное отображение Шаблон:Math такое что Шаблон:Math — элемент, ассоциированный с Шаблон:Math для Шаблон:Math.
Примеры
- Все евклидовы кольца, в частности, кольцо целых чисел (см. основная теорема арифметики) и кольцо гауссовых целых чисел. См. статьи Факторизация целых чисел и Факторизация гауссовых чисел.
- Если Шаблон:Mvar факториально, то и кольцо многочленов Шаблон:Math факториально, отсюда следует, что и кольцо Шаблон:Math факториально.
- Теорема Аусландера — Буксбаума: каждое регулярное локальное кольцо является факториальным.
- Кольцо формальных степенных рядов над областью главных идеалов является факториальным.
- Пусть Шаблон:Mvar — поле характеристики не 2. Клейн и Нагата показали, что Шаблон:Math факториально, если Шаблон:Mvar — невырожденная квадратичная форма и Шаблон:Mvar не меньше пяти.
- Локализация факториального кольца факториальна. Более того, подходящей локализацией и из нефакториального кольца можно получить факториальное кольцо. Например, кольцо <math>\mathbb \mathbb Z[\sqrt{-3}]</math> не факториально (т.к. <math>(1+\sqrt{-3})\cdot(1-\sqrt{-3}) = 4 = 2\cdot 2</math>), а его локализация <math>\mathbb Z[\sqrt{-3},1/2]</math> факториальна.
Эквивалентные формулировки
Пусть Шаблон:Mvar — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:
- Шаблон:Mvar факториально.
- Каждый ненулевой простой идеал Шаблон:Mvar содержит простой элемент (то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост).
- Шаблон:Mvar — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки).
- Шаблон:Mvar — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.
Свойства факториальных колец
1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.
2. Лемма о совместной делимости. Если элемент <math>N</math> факториального кольца делится на каждый из элементов <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, … ,<math>a_k</math>, причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда <math>N</math> делится на их произведение.
3. Если <math>N^n = a_1a_2\dots a_k</math>, причём элементы <math>a_1, a_2, ... ,a_k</math> попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид <math>a_i = u_i b_i^n</math>, где <math>u_i</math> — обратимые элементы кольца.
4. Любую дробь <math>a/b</math>, составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы <math>p</math> и <math>q</math> (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что <math>a/b = p/q</math>.
5. Теорема Гаусса. Если дробь <math>a/b</math> является корнем многочлена <math>x^n + c_1x^{n-1} + \dots + c_n</math> со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы <math>a, b</math>, а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца <math>R</math>), тогда <math>a/b</math> лежит в <math>R</math>, то есть <math>a</math> делится на <math>b</math> в кольце <math>R</math>. (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).
Литература
