Русская Википедия:Факторпространство по подпространству

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — факторпространство, определяемое для векторного пространства <math>(X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> по его подпространству <math>(X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> как пространство над фактормножеством <math>X</math> по отношению эквивалентности <math>x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_0</math>. Обозначение — <math>X/X_0</math>.

Факторотображение

Отображение <math>\varphi\colon X\mapsto X/X_0</math>, сопоставляющее каждому элементу из <math>X</math> класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на <math>X/X_0</math> векторную структуру, задав операции <math>\langle+,\;\cdot\rangle</math> следующим образом:

• <math>x_1+x_2=\varphi(\varphi^{-1}(x_1)+\varphi^{-1}(x_2))\qquad\forall x_1,\;x_2\in X/X_0;</math>
• <math>\lambda x=\varphi(\lambda\varphi^{-1}(x))\qquad\forall x\in X/X_0,\;\lambda\in\mathbb{F}.</math>

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

1. <math>\varphi\in\mathcal{L}(X,\;X/X_0);</math>
2. <math>\mathrm{im}\, {\varphi} = X/X_0</math>, то есть <math>\varphi</math> — эпиморфизм;
3. <math>\ker\varphi=X_0</math>, что эквивалентно <math>\varphi^{-1}(0)=X_0</math>.

Связанные определения

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

• кообраз линейного отображения <math>T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\colon\mathrm{coim}\,T= X/\ker T</math>;
• коядро линейного отображения <math>T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\colon\mathrm{coker}\,T= Y/\mathrm{im}\,T</math>, при условии что <math>\mathrm{im}\,T\in\mathrm{Lat}(Y)</math>.
• коразмерность <math>X_0\in\mathrm{Lat}(X)\colon\mathrm{codim}\,X_0=\dim X/X_0</math>;
• Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой <math>p\colon\forall w\in X/X_0\quad p_{X/X_0}(w)=\inf p(\varphi^{-1}(w))</math>.

Сопутствующие теоремы

• Существование снижения на кообраз:

<math>\forall T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\,\exists{!}\,T_c\in\mathcal{L}(\mathrm{coim}\,T,\;Y)\colon T=T_c\varphi,\;\ker T_c=\{0\}.</math>

• Теоремы об изоморфизме:

<math>\mathrm{coim}\,T\simeq\mathrm{im}\,T</math>

<math>X_0,\,X_1 \in\mathrm{Lat}(X): X=X_0\oplus X_1 \Rightarrow X/X_0\simeq X_1;\, X/X_1\simeq X_0</math>

• Теорема о непрерывности факторотображения:

<math>\varphi\in\mathcal{B}(X,\;X/X_0).</math>

• <math>\varphi^{-1}(\ker p_{X/X_0})=\mathrm{cl}\,X_0.</math>
• <math>(X/X_0,\;p_{X/X_0})</math> — хаусдорфово <math>\Leftrightarrow X_0=\mathrm{cl}\,X_0</math>.

Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяетШаблон:Уточнить определить на нём норму, а по норме и метрику.

• Признак полноты <math>X\colon X_0,\;X/X_0</math> — полны <math>\Rightarrow X</math> — полно.
• <math>X_0</math> — гиперплоскость <math>\Leftrightarrow \mathrm{codim}\,X_0=1</math>.
• Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:

<math>\forall w\in X/X_0,\;\forall x\in\varphi^{-1}(w)\;p_{X/X_0}(w)\leqslant p(x);</math>

<math>\forall w\in X/X_0,\;\forall\varepsilon>0\;\exists x\in\varphi^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant(1+\varepsilon)p_{X/X_0}(w).</math>

• Лемма о снежинке.

Литература

• Шаблон:Книга.