Русская Википедия:Факторсистема
Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).
Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа, факторкольцо, факторалгебра являются факторсистемами над группой, кольцом, алгеброй над полем соответственно.
Определение
Для алгебраической системы <math>\mathfrak A = \langle A, F, R\rangle</math>, <math>F = \langle f_1:A^{n_1} \to A, \dots f_i:A^{n_i} \to A, \dots \rangle</math>, <math>R= \langle r_1 \subseteq A^{m_1}, \dots r_i \subseteq A^{m_i}, \dots \rangle</math> и бинарного отношения <math>\sigma \subseteq A \times A</math>, являющегося конгруэнцией над <math>\mathfrak A</math>, то есть, стабильного относительно каждой из основных операций <math>f_i \in F</math> — из вхождения в отношение некоторого набора <math>\forall_{j\in 1\dots{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma</math> следует выполнение <math>(f(a_1, \dots a_{n_i}), f(b_1, \dots b_{n_i})) \in \sigma</math> — факторсистема строится как алгебраическая система <math>\mathfrak A / \sigma</math>, с носителем <math>A/\sigma</math> — фактормножеством над <math>A</math> относительно конгруэнции <math>\sigma</math>, следующим набором операций:
- <math>\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma, \dots \rangle</math>
и следующим набором отношений:
- <math>\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle</math>,
где <math>^\star</math> означает переход к классам смежности относительно конгруэнции <math>\sigma</math>:
- <math>f^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \dots a_n)]_\sigma</math> для операций и
- <math>r^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_m]_\sigma) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\sigma, \dots b_m\in[a_m]_\sigma) r(b_1, \dots b_m)</math> для отношений
(класс смежности <math>[a]_\sigma</math> — множество всех элементов, эквивалентных <math>a</math> относительно <math>\sigma</math>: <math>\{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}</math>).
Таким образом, факторсистема <math>\mathfrak A / \sigma</math> является однотипной с системой <math>\mathfrak A</math>. В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).
Свойства
Естественное отображение <math>\phi: A \to A/\sigma</math>, ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: <math>\phi(a) = [a]_\sigma</math>, является гомоморфизмом из <math>\mathfrak A</math> в факторсистему <math>\mathfrak A/\sigma</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма <math>\phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R')</math> и его ядерной конгурэнции <math>\sigma_\phi = \{(x, y)\in A\times A|\phi(x)=\phi(y) \}</math> естественное отображение <math>\phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A'</math> (то есть <math>\phi^\star([a]_\sigma) = \phi(a)</math>) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм <math>\phi</math> является сильным, то есть для каждого предиката из <math>r'_k\in R'</math> и любого набора элементов <math>a'_1,\dots a'_n \in A'</math> из утверждения <math>(a'_1,\dots a'_n) \in r'_k</math> вытекает существование таких прообразов <math>a_1 \in \phi^{-1}a'_1, \dots a_n \in \phi^{-1}a'_n</math>, что <math>(a_1,\dots a_n) \in r_k</math>, то <math>\phi</math> является изоморфизмом. Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образовШаблон:Sfn. Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.
Примечания
Литература
