Русская Википедия:Ферми-газ
Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.
Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре
Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при <math>T=0</math> равна <math>W_0=0</math>. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.
Самую низкую энергию газа <math>W_0</math> с <math>N</math> частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из <math>N</math> квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия <math>W_0</math> такого газа при <math>T=0</math> будет отличной от нуля.
Величину <math>W_0</math> несложно вычислить. Обозначим через <math>\mu_0</math> энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при <math>T=0</math>. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже <math>\mu_0 </math> заняты, а все квантовые состояния с энергией выше <math>\mu_0</math> — свободны.
Поэтому должно существовать ровно <math>N</math> состояний с энергией ниже или равной <math>\mu_0</math>. Этого условия достаточно для нахождения <math>\mu_0</math>. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям <math>\mathbf{k}</math> интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на <math>h^3</math>:
- <math>\frac{g}{h^3}\iint 4\pi p^2\,dr\,dp=V\frac{g}{h^3}\int 4\pi p^2\,dp,</math>
где <math>g</math> — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число <math>g=2</math>, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от <math>p=0</math> до <math>p_0</math>, величины импульса самого высокого заполненного при <math>T=0</math> состояния с энергией <math>\mu_0=(2m)^{-1}p_0^2</math>, и приравнивая результат к <math>N</math>, получаем с учётом того, что <math>\rho=N/V</math>:
- <math>N=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}p_0^3=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}(2m\mu_0)^{3/2},</math>
- <math>p_0=\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{1/3}h,</math>
- <math>\mu_0=\frac{p_0^2}{2m}=\frac{h^2}{2m}\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{2/3}</math>
или для электронов с <math>g=2</math>:
- <math>\mu_0=\frac{h^2}{8m}\left(\frac{3\rho}{\pi}\right)^{2/3},\quad g=2.</math>
Величину <math>\mu_0</math>, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.
Газ Ферми — Дирака при конечной температуре
Для ненулевых значений параметра <math>\beta=1/kT</math> плотность числа электронов <math>N(\varepsilon)</math> в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний
- <math>\frac{3}{2}N/\mu_0^{3/2}\int\varepsilon^{1/2}\,d\varepsilon</math>
на множитель <math>\frac{1}{1+\exp[(\beta(\varepsilon-\mu)]}</math>, который даёт число электронов на одно квантовое состояние:
- <math>N(\varepsilon)=\frac{3}{2}N/\mu_0^{3/2}\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]},</math>
где величина <math>\mu_0</math> — химический потенциал при <math>T=0</math>, а <math>\mu</math> — химический потенциал при данной температуре.
Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям <math>\varepsilon</math>, то можно определить <math>\mu</math> как функцию от температуры.
Сравнивая результат, который входит в <math>\int\limits_0^\infty N(\varepsilon)\,d\varepsilon</math> полного числа частиц <math>N</math>. Отсюда видно, что для <math>N(\varepsilon)</math> величина <math>\mu</math> есть функция параметров <math>\mu_0</math> и <math>\beta</math>.
Энергию можно найти из соотношения:
- <math>W=\int\limits_0^\infty\varepsilon N(\varepsilon)\,d\varepsilon,</math>
откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:
- <math>I=\int\limits_0^\infty f(\varepsilon)g(\varepsilon)\,d\varepsilon,</math>
в котором функция <math>f(\varepsilon)</math> есть некоторая простая и непрерывная функция от <math>\varepsilon </math>, например <math>\varepsilon^{1/2}</math> или <math>\varepsilon^{3/2}</math>, и
- <math>g(\varepsilon)=\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]}.</math>
Величина <math>\mu_0/k</math> имеет порядок от <math>5\cdot 10^4</math> до <math>10^5</math> К для большинства металлов.
Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:
- <math>\mu=\mu_0\left[1-\frac{\pi^2}{12}(\beta\mu_0)^{-2}-\frac{\pi^4}{80}(\beta\mu_0)^{-4}+\ldots\right],</math>
которое выражает химический потенциал <math>\mu</math> через параметры <math>\beta</math> и <math>\mu_0</math>.
Эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — <math>(\beta\mu_0)^{-2}\approx 10^{-4}</math>. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.
См. также
Литература
Ссылки
- A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002
- Seiringer R. The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas / Commun. Math. Phys. — 261. — 2006. — pp. 729–758.
- Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004
