Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскостиШаблон:Sfn. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб»[1].
Традиционно различают два основных класса фигурных чисел[2]:
плоские многоугольные числа — числа, связанные с определённым многоугольником. Они делятся на классическиеШаблон:Переход и центрированныеШаблон:Переход;
пространственные многогранные числа — числа, связанные с определённым многогранникомШаблон:Переход.
В свою очередь, каждый класс фигурных чисел делится на разновидности, каждая из которых связана с определённой геометрической фигурой: треугольником, квадратом, тетраэдром Шаблон:Итд
Существуют также обобщения фигурных чисел на многомерные пространстваШаблон:Переход. В древности, когда арифметика не отделялась от геометрии, рассматривались ещё несколько видов фигурных чисел, в настоящее время не используемыхШаблон:Переход.
Многоугольные числа — это последовательность, указывающая число точек, построенную согласно правилам, которые проиллюстрируем на примере семиугольника. Ряд семиугольных чисел начинается с 1 (базовая точка), затем следует 7, потому что 7 точек образуют правильный семиугольник, 6 точек добавились. Третье число соответствует семиугольнику, у которого стороны содержат уже не по две, а по три точки, причём все точки, построенные на предыдущих шагах, также учитываются. Из рисунка видно, что третья фигура содержит 18 точек, прибавка (Пифагор называл её «гномон») составила 11 точек. Нетрудно видеть, что прибавки образуют арифметическую прогрессию, в которой каждый член на 5 больше, чем предыдущийШаблон:Sfn.
Переходя к общему <math>k</math>-угольнику, можно заключить, что на каждом шаге число точек, соответствующее фигурному числу, увеличивается как сумма арифметической прогрессии[3] с первым членом 1 и разностью <math>k-2.</math>
Алгебраическое определение
Общее определение k-угольного числа для любого <math>k \geqslant 3</math> следует из представленного выше геометрического построения. Его можно сформулировать следующим образом[4]:
Шаблон:Рамка
<math>n</math>-е по порядку k-угольное число <math>P^{(k)}_n</math> есть сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна <math>k-2.</math>
Шаблон:Конец рамки
Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда <math>1+2+3+4 \dots</math>, а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд <math>1+3+5+7 \dots</math>
Общую формулу для явного подсчёта <math>n</math>-го по порядку k-угольного числа <math>P^{(k)}_n</math> можно получить, представив его как сумму арифметической прогрессии[6]:
Шаблон:EF
В некоторых источниках последовательность фигурных чисел начинают с нуля (например, в Шаблон:OEIS short):
<math>0,\;1,\;k,\;3 k-3,\dots</math>
В этом случае в общей формуле для <math>P^{(k)}_n</math> допускается <math>n=0.</math> В данной статье фигурные числа нумеруются начиная с единицы, а расширенный ряд оговаривается особо.
Другими словами, каждое многоугольное число есть среднее арифметическое для равноотстоящих от него по <math>k</math> многоугольных чисел с тем же номером.
Если <math>k</math> — простое число, то второе <math>k</math>-угольное число, равное <math>k</math>, также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым, к чему можно прийти, записав общую формулу в следующем виде:
Доказательство: пусть <math>n>2.</math> Если <math>n</math> чётно, то фигурное число делится на <math display="inline">\frac n 2</math>, а если нечётно, то делится на <math display="inline">\frac{2 + (n - 1)(k - 2)}{2}</math>. В обоих случаях фигурное число оказывается составнымШаблон:Sfn.
сходятся. Их сумма <math>S</math> может быть представлена в виде <math display=inline>S = -\frac{2}{k-4}\left(\gamma + \psi(\frac{2}{k-2})\right),</math> где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера — Маскерони, <math>\psi(x)</math> — дигамма-функция[7].
Исторический очерк
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие видные математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский, Теон Смирнский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение <math>k</math>-угольного числа <math>P^{(k)}_n</math> как суммы <math>n</math> членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть <math>1</math>, а разность равна <math>k-2</math>. Диофант написал большое исследование «О многоугольных числах» (III век н. э.), фрагменты которого дошли до наших дней. Определение Гипсикла приводится в книге Диофанта в следующем видеШаблон:Sfn[8]:
Шаблон:Начало цитаты
Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.
Шаблон:Конец цитаты
О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.)[9][10].
В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. В сентябре 1636 годаШаблон:Sfn Ферма сформулировал в письме Мерсенну теорему, которая сегодня называется теоремой Ферма о многоугольных числах[9]:
Шаблон:Начало цитаты
Я первым открыл очень красивую и совершенно общую теорему о том, что каждое число является либо треугольным, либо суммой двух или трёх треугольных чисел; каждое число или квадратное, или является суммой двух, трёх или четырёх квадратов; или пятиугольное, или является суммой двух, трёх, четырёх или пяти пятиугольных чисел, и т. д. до бесконечности, будь то для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел. Я не могу дать здесь доказательство, которое зависит от многочисленных и запутанных тайн чисел, ибо я намерен посвятить этой теме целую книгу и получить в этой части арифметики удивительные достижения по сравнению с ранее известными пределами.
Шаблон:Конец цитаты
Вопреки обещанию, Ферма так и не опубликовал доказательство этой теоремы, которую в письме Паскалю (1654) назвал своим главным достижением в математике[11]. Проблемой занимались многие выдающиеся математики — в 1770 году Лагранж доказал теорему для квадратных чисел (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов), в 1796 году Гаусс дал доказательство для треугольных. Полное доказательство теоремы сумел дать Коши в 1813 году[12]Шаблон:Sfn.
Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное. Никакое треугольное число не может (в десятичной записи) оканчиваться цифрами 2, 4, 7, 9Шаблон:Sfn.
Обозначим для краткости <math>n</math>-е треугольное число: <math display="inline">T_n = P^{(3)}_n = \frac{n(n+1)}{2}.</math> Тогда справедливы рекуррентные формулы:
Натуральное число <math>N</math> является треугольным тогда и только тогда, когда число <math>8N+1</math> является квадратнымШаблон:ПереходШаблон:Sfn.
Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чиселШаблон:Sfn: <math>666=15^2+21^2</math>.
Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел.
Поскольку второе слагаемое справа может быть равно нулю, здесь следует рассматривать расширенный ряд квадратных чисел, начинающийся не с 1, а с нуля (см. Шаблон:OEIS short).
Последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерамиШаблон:Sfn: <math>P^{(6)}_n = P^{(3)}_{2n-1}</math>.
Натуральное число <math>N</math> является шестиугольным тогда и только тогда, когда число <math display="inline">\frac{\sqrt{8N+1}+1}{4}</math> является натуральнымШаблон:Переход.
В десятичной системе <math>n</math>-ое двенадцатиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число <math>n</math>. Это следует из очевидного сравнения: <math>5n(n-1) \equiv 0 \pmod {10},</math> откуда получаем: <math>5n^2 - 4n \equiv n \pmod {10}</math> Шаблон:ЧТД.
Определение, является ли заданное число многоугольным
Задача 1 (задача Диофанта): дано натуральное число <math>N>2</math>. Определить, является ли оно многоугольным числом <math>P^{(k)}_n</math> и если да, то для каких <math>k</math> и <math>n</math>. Диофант сформулировал эту проблему так: «выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел»[18].
Перепишем полученное уравнение в виде: <math>k-2 = \frac{2N-2}{n-1} - \frac{2N}{n}</math>.
Знаменатели дробей справа взаимно просты; сумма или разность таких дробей может быть целым числом только если каждая дробь есть целое число[19], поэтому <math>2N-2</math> кратно <math>n-1</math>, а <math>2N</math> кратно <math>n</math>.
В результате алгоритм решения приобретает следующую формуШаблон:Sfn:
Выписать все натуральные делители числа <math>2N</math> (включая <math>1</math> и само <math>2N</math>).
Выписать все натуральные делители числа <math>2N-2</math>.
Отобрать из первого набора те числа, которые на <math>1</math> больше какого-либо числа из второго набора. Эти числа соответствуют <math>n</math>.
Для каждого отобранного <math>n</math> подсчитать <math display="inline">k=\frac{2N-2}{n-1} - \frac{2N}{n} + 2</math>.
Вычеркнуть пары <math>(n,\;k)</math>, в которых <math>k<3</math>.
Тогда все соответствующие оставшимся парам числа <math>P^{(k)}_n</math> равны <math>N</math>.
Соответственно <math>k = 105,\;36,\;12,\;14,\;2</math>. Последнее значение следует отбросить.
Ответ: <math>105</math> может быть представлено как <math>P^{(105)}_2,\;P^{(36)}_3,\;P^{(12)}_5,\;P^{(14)}_{14}</math>, то есть как 2-е 105-угольное, 3-е 36-угольное, 5-е 12-угольное и 14-е 14-угольное число.
Задача 2: дано натуральное число <math>N>2,</math> требуется определить, является ли оно <math>k</math>-угольным числом <math>P^{(k)}_n</math>. В отличие от задачи 1, здесь <math>k</math> задано.
Для решения можно использовать тождество ДиофантаШаблон:Sfn:
Это тождество получается из приведённой выше Шаблон:Eqref и равносильно ей. Из тождества вытекает решение: если <math>N</math> есть <math>k</math>-угольное число, то есть <math>N=P^{(k)}_n</math> для некоторого <math>n,</math> то <math>8(k-2)N + (k-4)^2</math> есть некоторое квадратное число <math>R^2</math>, и обратно. При этом номер <math>n</math> находится по формуле[20]:
Пример[20]. Определим, является ли число <math>1540</math> 10-угольным. Значение <math>8(k-2)N + (k-4)^2</math> здесь равно <math>98596 = 314^2,</math> поэтому ответ утвердительный. <math>n=20,</math> следовательно, <math>1540</math> является 20-м 10-угольным числом.
Производящая функция
Степенной ряд, коэффициенты которого — <math>k</math>-угольные числа, сходится при <math>|x|<1</math>:
Аппарат производящих функций позволяет применять в теории чисел и комбинаторике методы математического анализа. Приведённая формула также объясняет появление <math>k</math>-угольных чисел среди коэффициентов ряда Тэйлора для различных рациональных дробей. Примеры:
Для некоторых классов многоугольных чисел существуют свои, специфические производящие функции. Например, для квадратных треугольных чисел <math>1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721 \dots</math> производящая функция имеет следующий видШаблон:Sfn:
<math display="inline">\frac{x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^2)} = x + 36x^2 + 1225x^3 + \dots</math>; ряд сходится при <math>|x| < 17-12\sqrt{2}</math>.
Классические многоугольные числа из более чем одной разновидности
Существует бесконечное количество «многофигурных» (или «мультимногоугольных»)Шаблон:Sfn чисел, то есть чисел, которые относятся одновременно к нескольким различным разновидностям фигурных чисел. Например, существуют треугольные числа, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)Шаблон:Sfn:
и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших <math>10^{22166},</math> не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует[21].
Возможны и другие сочетания трёх и более разновидностей фигурных чисел. Например, как доказано вышеШаблон:Переход, число <math>105</math> входит в четыре разновидности: <math>P^{(12)}_5,\;P^{(14)}_{14},\;P^{(36)}_3,\;P^{(105)}_2.</math> Полный список таких сочетаний от треугольных до 16-угольных чисел — см. Шаблон:OEIS.
Шаблон:Main
Центрированные <math>k</math>-угольные числа (<math>k \geqslant 3</math>) — это класс фигурных чисел, получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный k-угольник с <math>k</math> точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои <math>k</math>-угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на <math>k</math> больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)Шаблон:Sfn.
Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: <math>1+k+2k+3k+4k+\dots</math> (например, центрированные квадратные числа, для которых <math>k=4,</math> образуют последовательность: <math>1, 5, 13, 25, 41\dots</math>) Этот ряд можно записать как <math>1+k(1+2+3+4+\dots)</math>, откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел (см. вышеШаблон:Переход). Следовательно, каждая последовательность центрированных <math>k</math>-угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как <math>kT_{n-1}+1</math>, где <math>T_n~(n=1,\;2,\;3\dots)</math> — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс <math>1</math>, порождающий ряд для них имеет вид: <math>1+4+8+12\dots</math>Шаблон:Sfn
Из приведённой выше формулы для треугольных чисел можно выразить общую формулу для <math>n</math>-го центрированного Шаблон:S числа <math>C^{(k)}_n</math>[23]:
Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трёх последовательных классических треугольных чисел: <math>C^{(3)}_n = P^{(3)}_n + P^{(3)}_{n-1} + P^{(3)}_{n-2}.</math>
Из следствия общей формулы видно, что каждое центрированное треугольное число <math>C^{(3)}_n</math> при делении на 3 даёт остаток 1, а частное (если оно положительно), есть классическое треугольное число <math>T_{n-1}</math>.
Некоторые центрированные треугольные числа являются простыми[24]: 19, 31, 109, 199, 409 … (Шаблон:OEIS).
Как видно из Шаблон:Eqref, центрированное квадратное число есть сумма двух последовательных квадратов.
Все центрированные квадратные числа нечётны, и последняя цифра в их десятичном представлении меняется в цикле: 1-5-3-5-1.
Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4, а при делении на 6, 8 или 12 дают остаток 1 или 5.
Все центрированные квадратные числа, за исключением 1, представляют длину гипотенузы в одной из пифагоровых троек (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке.
Разность между двумя последовательными классическими восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число.
Некоторые центрированные квадратные числа являются простыми (как показано выше, классические квадратные числа, начиная с третьего по порядку, заведомо составные). Примеры простых центрированных квадратных чисел:
Чётность центрированных пятиугольных чисел меняется по правилу: чётное-чётное-нечётное-нечётное, и последняя десятичная цифра меняется в цикле: 6-6-1-1.
Некоторые центрированные пятиугольные числа являются простыми[24]: 31, 181, 331, 391, 601 . . . (Шаблон:OEIS).
Файл:Centered hexagonal = 1 + 6triangular.svgПредставление формулы в виде <math display="inline">1+\frac{6(n(n-1)}{2}</math> показывает, что Шаблон:S центрированное шестиугольное число на 1 больше, чем шестикратная величина Шаблон:S треугольного числа
<math>n</math>-е по порядку центрированное шестиугольное число задаётся формулой:
<math>C^{(6)}_n = n^3-(n-1)^3=3n(n-1)+1</math>.
Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:
<math>n</math>-е по порядку центрированное семиугольное число задаётся формулой <math display="inline">\frac{7n^2-7n+2}{2}</math>. Его можно также вычислить умножением треугольного числа <math>(n-1)</math> на 7 с добавлением 1.
Несколько первых центрированных семиугольных чисел:
Все центрированные восьмиугольные числа нечётны, и их последняя десятичная цифра меняется в цикле 1-9-5-9-1.
Центрированное восьмиугольное число совпадает с классическим квадратным числом с нечётным номером: <math>C^{(6)}_n = P^{(4)}_{2n-1}.</math> Другими словами, нечётное число является центрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оно является квадратом целого числа.
Из предыдущего свойства следует, что все центрированные восьмиугольные числа, кроме 1, составные.
Центрированные девятиугольные числа
Шаблон:Main
<math>n</math>-е по порядку центрированное девятиугольное число определяется общей формулой <math>\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}</math>.
Умножая <math>(n-1)</math>-ое треугольное число на 9 и добавляя 1, получим <math>n</math>-ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е Шаблон:Итд) также является центрированным девятиугольным числом, и так можно получить все центрированные девятиугольные числа. Формальная запись: <math>C^{(9)}_n = P^{(3)}_{3n-2}</math>.
За исключением 6, все чётные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году математик-любитель Фредерик Поллоквысказал предположение, которое до сих пор не доказано и не опровергнуто, что любое натуральное число есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чиселШаблон:Sfn.
Из общей формулы следует, что все центрированные девятиугольные числа, кроме 1, составные.
Подобно другим k-угольным числам, <math>n</math>-ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая <math>(n-1)</math>-ое треугольное число на <math>k</math>, в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении.
Часть центрированных десятиугольных чисел являются простыми, например:
Многоугольные числа, одновременно классические и центрированные
Некоторые центрированные многоугольные числа совпадают с классическими, например: <math>1,\;10,\;25,\;51</math>; для краткости будем называть такие многоугольные числа двойными.
1. Двойные числа с общим параметром <math>k</math> (число углов): имеет место тождествоШаблон:Sfn:
<math>C^{(k)}_k = P^{(k)}_{k+1}\quad</math>.
2. Двойные треугольные числа с разными <math>k.</math> Пример: <math>1,\;10,\;136,\;1891,\;26 335\dots</math> (Шаблон:OEIS). Для их нахождения надо решить диофантово уравнение:
<math>m^2+m=3n^2-3n+2,</math> тогда <math>P^{(3)}_m = C^{(3)}_n</math>. Некоторые решения:
3. Классические квадратные, являющиеся центрированными треугольными числами. Их определяет диофантово уравнение:
<math display="inline">m^2 = \frac{3n^2-3n+2}{2}. \quad</math> Тогда <math>C^{(3)}_m = P^{(4)}_n</math>.
Решения:
<math>m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\dots</math> (Шаблон:OEIS), соответственно <math>n=1,2,7,16,65\dots</math>
Первые такие числа: <math>1,\;4,\;64,\;361,\;6241\dots</math>
4. Классические треугольные, являющиеся центрированными шестиугольными числами. Первые такие числа: <math>1,\;91,\;8911,\;873 181,\;85 562 821\dots</math> (Шаблон:OEIS). Их определяет диофантово уравнение:
<math>\frac{m(m+1)}{2} = 3n^2+3n+1. \quad</math> Тогда <math>P^{(3)}_m = C^{(6)}_{n+1}</math>.
Наряду с рассмотренными выше фигурными числами для плоских фигур, можно определить пространственные или даже многомерные их аналоги. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:
Шаблон:Also
Пирамидальные числа определяются следующим образом:
Шаблон:Рамка
<math>n</math>-е по порядку k-угольное пирамидальное число <math>\Pi^{(k)}_n</math> есть сумма первых <math>n</math> плоских фигурных чисел с тем же числом углов <math>k</math>:
|}
Геометрически пирамидальное число <math>\Pi^{(k)}_n</math> можно представить как пирамиду из <math>n</math> слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до <math>P^{(k)}_n</math> (нижний) шаров.
По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё АрхимедуШаблон:Sfn:
Треугольные пирамидальные числа, называемые также тетраэдральными — это фигурные числа, которые представляют тетраэдр, то есть пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Согласно приведенному выше общему определению пирамидальных чисел, <math>n-</math>е по порядку тетраэдральное число определяется как сумма первых <math>n</math> треугольных чисел:
<math>\Pi^{(3)}_n=T_1 + T_2 + \dots + T_n</math>
Общая формула для тетраэдрального числа: <math>\Pi^{(3)}_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}</math>.
Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардовШаблон:Sfn[26].
Общая формула для квадратного пирамидального числа: <math>\Pi^{(4)}_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>.
Квадратное пирамидальное число <math>\Pi^{(4)}_n</math> также выражает общее количество квадратов[27] в квадратной сетке <math>n \times n</math>.
Между квадратными и треугольными пирамидальными числами существует следующая зависимостьШаблон:Sfn:
<math>4\Pi^{(4)}_n = \Pi^{(3)}_{2n}</math>.
Выше было отмечено, что сумма последовательных треугольных чисел есть квадратное число; аналогично сумма последовательных тетраэдральных чисел есть квадратное пирамидальное число[28]:
<math>\Pi^{(4)}_n = \Pi^{(3)}_n + \Pi^{(3)}_{n-1}</math>.
Многогранные числа
По аналогии с квадратными можно ввести «кубические числа» <math>Q_n=n^3,</math> а также числа, соответствующие другим правильным и неправильным многогранникам — например, платоновым телам:
Шаблон:Main
Кубические числа <math>Q_n</math> представляют собой произведение трёх одинаковых натуральных чисел и имеют общий вид <math>Q_n=n^3.</math> Начальные значения:
Разность между двумя соседними кубическими числами есть центрированное шестиугольное число. Следствие: сумма первых <math>n</math> центрированных шестиугольных чисел есть кубическое число <math>Q_n</math>[29].
Выражение кубического числа через тетраэдральные[29]:
Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел требуют восьми (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, Шаблон:OEIS), а двум числам нужны все девять: 23 и 239. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)Шаблон:Sfn.
Описанные выше трёхмерные конструкции можно обобщить на четыре и более измерений. Аналогом тетраэдральных чисел в <math>d</math>-мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральнымиШаблон:Sfn:
Другие разновидности многомерных чисел — гиперкубические: <math>Q^{[d]}_n=n^d</math>. Четырёхмерные гиперкубические числа <math>(d=4)</math> называются биквадратными[30].
Числа из более чем одной разновидности
Некоторые фигурные числа могут принадлежать более чем одной разновидности плоских и/или многомерных чисел, примеры для плоских чисел уже приводились вышеШаблон:ПереходШаблон:Переход. Для многомерных чисел это довольно редкая ситуацияШаблон:Sfn.
Пять чисел <math>1, 10, 120, 1540, 7140</math> (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (Шаблон:OEIS).
Четыре числа <math>1, 55, 91, 208335</math> одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (Шаблон:OEIS).
Три числа <math>1, 4, 19 600</math> одновременно плоские квадратные и тетраэдральные (Шаблон:OEIS).
Два числа <math>1, 4900</math> одновременно квадратные плоские и квадратные пирамидальные. Это утверждение получило известность как «гипотеза Люка» или «задача о пушечных ядрах» (1875 год). Полное решение дал в 1918 году Джордж Невилл Ватсон[31].
Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно[32][33]:
В 1988 году Ф. Бейкерс и Дж. Топ доказали, что никакое число, кроме 1, не может быть одновременно тетраэдральным и квадратным пирамидальным[34]. Доказано также, что не существует чисел, которые одновременно[33]:
тетраэдральные и кубические;
квадратные пирамидальные и кубические;
тетраэдральные и биквадратные;
квадратные пирамидальные и биквадратные.
Архаичные виды фигурных чисел
В античные времена, когда арифметика не отделялась от геометрии, пифагорейцы (VI век Шаблон:Донэ) различали ещё несколько видов фигурных чисел[35].
Линейные числа — числа, «измеряемые только единицей», то есть, в современной терминологии, простые числа (у Евклида используется термин «первые числа», Шаблон:Lang-grc).
Плоские (или плоскостные) числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, бо́льших единицы, то есть составные.
Частным случаем являются прямоугольные числа (в источниках иногда называются «продолговатыми», Шаблон:Lang-en), представляющие собой произведение двух последовательных целых чисел[36], то есть имеющие вид <math>n (n + 1), n\geqslant 0.</math>
Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей, бо́льших единицы.
Комментатор Евклида Д. Д. Мордухай-Болтовской поясняет[37]:
Шаблон:Начало цитатыТермины «плоскостное» и «телесное» число являются, вероятно, пережитком более раннего периода математической мысли, когда число и геометрический образ были ещё теснее связаны, когда произведение числа <math>a</math> предметов на абстрактное число <math>b</math> мыслилось как расположение этих предметов в <math>b</math> рядах по <math>a</math> предметов в каждом, с заполнением площади прямоугольника. То же следует сказать и о произведении трёх чисел, являющемся, согласно евклидовской терминологии, телесным числом.
Шаблон:Конец цитаты
В настоящее время простые числа не относят к фигурным, а термины «плоское число» и «телесное число» вышли из употребления[37].
Роль в теории чисел
Треугольник Паскаля
Числа из треугольника Паскаля обнаруживают связь со многими разновидностями фигурных чисел.
Шаблон:Image frame
На третьей линии в треугольнике Паскаля находятся треугольные числа, а на четвёртой — тетраэдральные числа (см. рисунок). Это объясняется тем, что <math>n</math>-е тетраэдральное число есть сумма первых <math>n</math> треугольных чисел, которые расположены на третьей линии. Аналогично на пятой линии расположены четырёхмерные пентатопные числаШаблон:Итд Все они, как и прочие числа внутри треугольника Паскаля, являются биномиальными коэффициентами.
Таким образом, все внутренние элементы треугольника Паскаля являются фигурными числами, причём представлены различные их разновидности. Вдоль каждой строки, слева направо, идут гипертетраэдральные числа возрастающей размерности. Известно, что сумма всех чисел <math>n</math>-й строки равна <math>2^n,</math> отсюда следует, что сумма всех чисел первых <math>n</math> строк равна числу Мерсенна <math>M_n.</math> Следовательно, число Мерсенна можно представить как сумму гипертетраэдральных чисел[38].
Другие применения
Многие теоремы теории чисел допускают формулировку в терминах фигурных чисел. Например, гипотеза Каталана утверждает, что среди гиперкубических чисел произвольных размерностей только одна пара отличается на 1: <math>3^2=2^3+1</math> (доказано в 2002 году)Шаблон:Sfn.
Всякое чётное совершенное число является треугольнымШаблон:Sfn (и одновременно шестиугольным, причём номер шестиугольного числа есть степень двойки). Такое число не может одновременно быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим числомШаблон:Sfn.
Сумма первых <math>n</math> центрированных треугольных чисел <math>(n > 2)</math> есть «магическая константа» для магического квадрата размерности <math>n \times n</math>. Другие способы получить эту же константу — через треугольное число <math>\frac{T_{n^2}}{n}</math>, или сложить все натуральные числа от <math>T_{n-1}</math> до <math>T_n</math> включительноШаблон:Sfn.
Число Мерсенна, большее 1, не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но может быть треугольным. Треугольных чисел Мерсенна всего четыре: <math>1,3,5,4095</math>, их поиск эквивалентен решению в натуральных числах уравнения Рамануджана — Нагеля: <math>2^n-7=x^2</math>. Как оказалось, решение этого уравнения существует только при <math>n=3,4,5,7,15</math> (Шаблон:OEIS), и при <math>n>3</math> соответствующее число Мерсенна <math>M_{n-3}</math> будет тогда треугольнымШаблон:Sfn.
Число Ферма также не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но в единственном случае может быть треугольным: <math>F_0=3</math>. Число Ферма также не может быть тетраэдральным и гипертетраэдральным любой размерности выше 2-й[38].
Среди чисел Фибоначчи имеются только три квадратных числа (0, 1 и 144) и четыре треугольных (1, 3, 21, 55, Шаблон:OEIS). Если повернуть треугольник Паскаля, как показано на рисунке, то числа Фибоначчи можно получить как суммы вдоль восходящих диагоналей; этот факт даёт разложение числа Фибоначчи по гипертетраэдральным числам[39].
Среди чисел Люка квадратных чисел два (1 и 4), а треугольных три (1, 3, 5778)Шаблон:Sfn.
Числа Каталана <math>Cat_n</math> выражаются через гипертетраэдральные числа следующим образомШаблон:Sfn:
Ещё один класс чисел, тесно связанных с фигурными — числа Стирлинга второго рода <math>S(n,m)</math>. Этот класс включает все треугольные числа: <math>T_n=S(n+1,n)</math>, а выражение <math>S(n,2)+1</math> равно 2-му по порядку <math>n</math>-мерному гиперкубическому числу <math>Q^{[n]}_2</math>. Наконец, всякое <math>n</math>-мерное гиперкубическое число разлагается по <math>S(n,m)</math> следующим образом[40]:
↑ 18,018,1Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок DD37 не указан текст
↑В самом деле, пусть <math>\frac{a}{n_1} + \frac{b}{n_2}</math> (все числа целые) есть целое <math>K</math>, причём <math>n_1</math>, <math>n_2</math> — взаимно просты. Умножая обе части на <math>n_1</math>, получим: <math>\frac{b n_1}{n_2} = Kn_1 - a</math>. Справа — целое число, поэтому <math>n_2</math> делит <math>b n_1</math>, и, согласно обобщённой лемме Евклида, <math>n_2</math> делит <math>b</math>.
↑ 20,020,1Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок DD39 не указан текст
↑Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок DD34 не указан текст
%3Dn%C2%B2..gif){kind=link}
