Русская Википедия:Фильтрация (случайные процессы)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Фильтра́ция в теории случайных процессов — неубывающее семейство σ-алгебр.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> и подмножество числовой прямой <math>T \subset \mathbb{R}</math>. Семейство σ-алгебр <math>\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}</math> такое, что

<math>\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F},\quad \forall s \le t,\; s,t \in T,</math>

называется фильтра́цией вероя́тностного простра́нства <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>.

Естественная фильтрация случайного процесса

Пусть дан случайный процесс <math>\{X_t\}_{t \in T}</math>, определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим

<math>\mathcal{F}^X_t = \sigma\{X_s \mid s \le t, \; s\in T\},\quad t \in T.</math>.

Тогда семейство <math>\left\{\mathcal{F}^X_t\right\}_{t \in T}</math> является фильтрацией и называется есте́ственной фильтрацией случайного процесса <math>\{X_t\}</math>.

См. также

• Марковский процесс
• Мартингал

Литература

• Скороход А. В. Вероятность. Прикладные аспекты, Теория вероятностей — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 43, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 189—270
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука, 1989.