Русская Википедия:Фильтр Чебышёва
Шаблон:Линейные электронные фильтры Фильтр ЧебышёваШаблон:Ref+ — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.
Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.
Различают фильтры Чебышёва I и II родов.
Фильтр Чебышёва I рода
Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра <math>n</math>-го порядка задаётся следующим выражением:
- <math>G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}</math>
где <math>\varepsilon</math> — показатель пульсаций, <math>\omega_0</math> — частота среза, а <math>T_n(x)</math> — многочлен Чебышёва <math>n</math>-го порядка.
В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (Шаблон:Lang-en) <math>\varepsilon</math>. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального <math>G=1</math> до минимального <math>G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}</math>. На частоте среза <math>\omega_0</math> коэффициент усиления имеет значение <math>1/\sqrt{1+\varepsilon^2}</math>, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАФЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).
В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.
Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:
Пульсации в дБ = <math>20 \log_{10}\sqrt{1+\varepsilon^2}</math>.
Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют <math>\varepsilon = 1</math>.
Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси <math>j\omega</math> в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.
Полюса и нули
Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса <math>(\omega_{pm})</math> фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту <math>s</math>, получим:
- <math>1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0</math>.
Представив <math>-js=\cos(\theta)</math> и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:
- <math>1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0</math>.
Разрешим последнее выражение относительно <math>\theta</math>
- <math>\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}</math>.
Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:
- <math>s_{pm}=j\cos(\theta)=</math>
- <math>=j\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)</math>.
Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:
- <math>s_{pm}^\pm=
\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+</math>
- <math>+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)
</math>,
где <math>m=1,\;2,\;\ldots,\;n</math> и
- <math>\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}</math>.
Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром <math>\theta_n</math>. Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в <math>s</math>-плоскости, причём центр эллипса находится в точке <math>s=0</math>, полуось действительной оси имеет длину <math>\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)</math>, а полуось мнимой оси имеет длину <math>\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)</math>.
Передаточная функция
Уравнение, выведенное выше, содержит полюса, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра <math>G</math>. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком действительной части полюса. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:
- <math>H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}</math>
где <math>s_{pm}^-</math> — только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.
Групповая задержка
Групповая задержка определяется как минус производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.
- <math>\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))</math>
Фазовые характеристики
Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.
- <math>\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}</math>
Временны́е характеристики
Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда. Шаблон:-
Фильтр Чебышёва II рода
Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:
- <math>G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}</math>
В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до
- <math>\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2}}}</math>
минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза <math>\omega_0</math>. Параметр <math>\varepsilon</math> связан с затуханием в полосе подавления <math>\gamma</math> в децибелах следующим выражением:
- <math>\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}</math>
Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: <math>\varepsilon=0,\!6801</math>; для затухания в 10 дБ: <math>\varepsilon=0,\!3333</math>. Частота <math>f_C=\omega_C/(2\pi)</math> является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ <math>f_H</math> связана с <math>f_C</math> следующим выражением:
- <math>f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right)</math>.
Полюса и нули
Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов <math>(\omega_{pm})</math> фильтра Чебышёва:
- <math>1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0</math>.
Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:
- <math>\frac{1}{s_{pm}^\pm}=
\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+</math>
- <math>+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)
</math>,
где <math>m=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>.
Нули <math>(\omega_{zm})</math> фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения::
- <math>\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0</math>.
Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:
- <math>1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right)</math>,
где <math>m=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>.
Передаточная функция
Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комплексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.
Групповая задержка
Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.
Фазовые характеристики
Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.
Цифровые фильтры Чебышёва
Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядкаШаблон:Нет АИ:
Z-преобразование каждого каскада:
- <math>S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}</math>.
Во временно́й области преобразование записывается как:
- <math>y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[-2]</math>
Коэффициенты <math>\alpha_i</math> и <math>\beta_i</math> подсчитываются из коэффициентов <math>a_i</math> и <math>b_i</math>:
- <math> K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)</math>Шаблон:Нет АИ
- <math> \mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n} </math>Шаблон:Нет АИ
- <math> b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2} </math>Шаблон:Нет АИ
- <math> a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i </math>Шаблон:Нет АИ
- <math> \alpha_0 = K \cdot K </math>
- <math> \alpha_1 = 2 \cdot K^2 </math>
- <math> \alpha_2 = K \cdot K </math>
- <math> \beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i) </math>
- <math> \beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2) </math>
- <math> \beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i) </math>
- <math> \beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime</math>
- <math> \beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime</math>
Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.
Сравнение с другими линейными фильтрами
На рисунке представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами 5-го порядка.
По графикам видно, что амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышёва имеют более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.
См. также
- Гребенчатый фильтр
- Фильтр (электроника)
- Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой
- Цифровая обработка изображений
- Цифровая обработка сигналов
Комментарии
Примечания
Библиография
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Публикация
Ссылки
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite webШаблон:Ref-en
Шаблон:Нет сносок Шаблон:ВП-порталы
