Русская Википедия:Фильтр (математика)

Шаблон:Значения Фильтр — подмножество частично упорядоченного множества, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году^[1]^[2] и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество <math>F</math> полурешётки <math>L</math> называется фильтром, если

для всех <math>a,b \in F</math>, <math>a \land b \in F</math>
для всех <math>a \in F</math> и <math>b</math> таких, что <math>a \leq b</math>, <math>b \in F</math>

Фильтр называется собственным, если <math>F \neq L</math>.

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр <math>F</math> решётки называется простым, если в нём для всех <math>a,b \in L</math> из того, что <math>a \lor b \in F</math>, следует, что либо <math>a \in F</math>, либо <math>b \in F</math>.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент <math>x</math>, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом <math>x</math>.

Если <math>F</math> фильтр, то <math>L \backslash F</math> является идеалом.

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре <math>M</math> называется подмножество <math>D \subseteq M</math>, для которого выполняются условияШаблон:Sfn:

<math>D \neq \varnothing</math>,
<math>x, y \in D \Rightarrow ( x \cap y ) \in D</math>,
<math>x \in D, x \leqslant y \Rightarrow y \in D</math>,
<math>x \in D \Rightarrow \bar{x} \notin D</math>.

Фильтр <math>D</math> на булевой алгебре <math>M</math> называется ультрафильтром, если выполняется условие:

<math>\forall x \in M: x \in D \vee \bar{x} \in D</math>.

Фильтр <math>D</math> на булевой алгебре <math>M</math> называется простым, если он удовлетворяет условию:

<math>\forall x, y \in M: (x \cup y ) \in D \Rightarrow x \in D \vee y \in D</math>.

Фильтр <math>D</math> на булевой алгебре <math>M</math> называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на <math>M</math>.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества <math>X</math> можно определить решётку его подмножеств <math>(\mathcal P(X),\subseteq)</math>. Тогда фильтр <math>\mathfrak F</math> на <math>X</math> определяется как подмножество <math>\mathcal P(X)</math>, удовлетворяющее следующим условиямШаблон:Sfn:

<math>\mathfrak F \neq \varnothing</math>
<math>\varnothing \notin\mathfrak F</math>
пересечение любых двух элементов <math>\mathfrak F</math> лежит в <math>\mathfrak F</math>
надмножество любого элемента <math>\mathfrak F</math> лежит в <math>\mathfrak F</math>

Фильтр вида <math>\mathfrak F_Z=\{Y \in\mathcal P(X) \mid Z \subseteq Y\}</math> называется фильтром, порожденным множеством <math>Z</math>. Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть <math>\mathfrak F</math> — фильтр на множестве <math>X</math>. Семейство <math>\mathfrak B</math> подмножеств <math>B\subset\mathfrak F</math> называется базой (базисом) фильтра <math>\mathfrak F</math>, если любой элемент фильтра <math>\mathfrak F</math> содержит некоторый элемент базы <math>\mathfrak B</math>, то есть для любого <math>Y\in\mathfrak F</math> существует <math>B\in\mathfrak B</math> такое, что <math>B\subset Y</math>. При этом фильтр <math>\mathfrak F</math> совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из <math>\mathfrak B</math>. В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база <math>\mathfrak B</math> порождает фильтр <math>\mathfrak F</math>

Для того, чтобы семейство <math>\mathfrak B=\{B\}</math> подмножеств множества <math>X</math> являлось базой некоторого фильтра на <math>X</math> необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

<math>\mathfrak B\neq\varnothing</math>;
<math>\varnothing\not\in\mathfrak B</math>;
для любых <math>A,B\in\mathfrak B</math> существует <math>C\in\mathfrak B</math> такое, что <math>A\cap B\supset C</math>.

Две базы <math>\mathfrak B</math> и <math>\mathfrak B'</math> называются эквивалентными, если любой элемент <math>B\in\mathfrak B</math> содержит в себе некоторый элемент <math>B'\in\mathfrak B'</math>, и наоборот, любой элемент <math>B'\in\mathfrak B'</math> содержит в себе некоторый элемент <math>B\in\mathfrak B</math>.

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе <math>\mathfrak B</math> существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр <math>\mathfrak F</math>. Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве <math>X</math> заданы два фильтра <math>\mathfrak F</math> и <math>\mathfrak F'</math>. Говорят, что фильтр <math>\mathfrak F'</math> мажорирует фильтр <math>\mathfrak F</math> (<math>\mathfrak F'</math> сильнее <math>\mathfrak F</math>, <math>\mathfrak F'</math> тоньше <math>\mathfrak F</math>), если <math>\mathfrak F'\supset\mathfrak F</math>. В этом случае также говорят, что фильтр <math>\mathfrak F</math> мажорируется фильтром <math>\mathfrak F'</math> (<math>\mathfrak F</math> слабее <math>\mathfrak F'</math>, <math>\mathfrak F</math> грубее <math>\mathfrak F'</math>).

Говорят, что база <math>\mathfrak B'</math> сильнее базы <math>\mathfrak B</math>, и записывают <math>\mathfrak B'\geqslant \mathfrak B</math>, если любой элемент <math>B\in\mathfrak B</math> содержит в себе некоторый элемент <math>B'\in\mathfrak B'</math>. База <math>\mathfrak B'</math> сильнее базы <math>\mathfrak B</math> тогда и только тогда, когда фильтр <math>\mathfrak F'</math>, порожденный базой <math>\mathfrak B'</math>, сильнее фильтра <math>\mathfrak F</math>, порожденного базой <math>\mathfrak B</math>.

Базы <math>\mathfrak B</math> и <math>\mathfrak B'</math> эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно <math>\mathfrak B'\geqslant \mathfrak B</math> и <math>\mathfrak B\geqslant \mathfrak B' </math>.

Фильтры в топологических пространствах

Пусть <math>(X,\mathcal T)</math> — топологическое пространство и <math>\mathfrak F</math> — фильтр на множестве <math>X</math>. Точка <math>a\in X</math> называется пределом фильтра <math>\mathfrak F</math>, если любая окрестность <math>V(a)</math> точки <math>a</math> принадлежит фильтру <math>\mathfrak F</math>. Обозначение: <math>a \in \lim\mathfrak F</math>. Если <math>a</math> является единственным пределом фильтра, то также пишут <math>a=\lim\mathfrak F</math>.

Для фильтра <math>\mathfrak F</math>, порожденного базой <math>\mathfrak B</math>, точка <math>a</math> является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность <math>V(a)</math> целиком содержит некоторое множество из <math>\mathfrak B</math>.

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка <math>a\in X</math> называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра <math>\mathfrak F</math>, если <math>a</math> принадлежит замыканию любого множества из <math>\mathfrak F</math>, то есть <math>a\in\overline Y</math> для всех <math>Y\in\mathfrak F</math>. Равносильно, для любой окрестности <math>V(a)</math> точки <math>a</math> и для любого <math>Y\in\mathfrak F</math> выполнено <math>V(a)\cap Y\neq\varnothing</math>. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
Если <math>X</math> — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше.
Если <math>X</math> — бесконечное множество мощности <math>\mathfrak m</math>, то множество дополнений множеств мощности <math><\mathfrak m</math> тоже является фильтром.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

↑ H. Cartan, «Théorie des filtres» Шаблон:Wayback, CR Acad. Paris, 205, (1937) 595—598.
↑ H. Cartan, «Filtres et ultrafiltres» Шаблон:Wayback, CR Acad. Paris, 205, (1937) 777—779.

[1] H. Cartan, «Théorie des filtres» Шаблон:Wayback, CR Acad. Paris, 205, (1937) 595—598.

[2] H. Cartan, «Filtres et ultrafiltres» Шаблон:Wayback, CR Acad. Paris, 205, (1937) 777—779.

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Фильтр (математика)

Содержание