Русская Википедия:Флексагон

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Flexagon.gif
Флексагон в процессе разворачивания.

Флексагоны (от Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-la — складываться, сгибаться, гнуться и греч. ωνος — угольник) — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь.

Многие флексагоны имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму. Впрочем, существуют флексагоны других форм, включая прямоугольные и кольцевые.

Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.

История

Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом Артуром Стоуном, изучавшим тогда математику в Принстонском университете в США. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4. Стоун обрезал края бумаги и из получившихся полосок стал складывать различные фигуры, одна из которых оказалась тригексафлексагоном[1][2].

Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки[2].

К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию флексагонов, заложив тем самым основания для всех последующих исследований. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново[2]. Нападение на Пёрл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырёх его учредителей в разные стороны[3].

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала «Scientific American» за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам[4][5].

Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения[6][7].

Виды флексагонов

Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т. д. Флексагон может допускать появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т. е. включающими в себя секторы с разными цифрами). Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания[3][8].

Наименования флексагонов

Названия многих флексагонов образованы по принципу «приставка (число поверхностей) + приставка (форма) + „флексагон“». Таким образом, первая приставка обозначает, сколько у флексагона поверхностей, которые могут рано или поздно раскрыться, а вторая — на сколько частей разделена каждая такая поверхность. Например, тетратетрафлексагон — это флексагон с четырьмя поверхностями, каждая из которых состоит из четырёх квадратов; гексагексафлексагон — флексагон с шестью поверхностями, каждая из которых состоит из шести треугольников; додекагексафлексагон — флексагон с двенадцатью («додека») поверхностями, каждая из которых состоит из шести («гекса») секторов, Шаблон:Итд[9]

Впрочем, общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов[3]. В книге Flexagons Inside Out флексагоны обозначаются по форме секторов (квадратный, пятиугольный и т. п.)[10][11]

В более позднее время окта- и додекафлексагонами стали называть флексагоны с 8 и 12 треугольными секторами соответственно[8]. Если секторы поверхностей флексагона представляют собой правильные или равнобедренные треугольники, то помимо гексафлексагонов существуют треугольные тетра-, пента-, гепта-, октафлексагоны[11].

В журналах «Наука и жизнь» использовалась в основном система приставок ИЮПАК[12][13][14][15].

Гексафлексагоны

Файл:Hexahexaflexagon - all sides - 01.jpg
Гексафлексагоны

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Существует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью поверхностями; количество плоскостей ограничено лишь тем, что бумага имеет ненулевую толщину[9][1][3][16][17].

Число видов гексафлексагонов быстро растёт с увеличением числа его поверхностей: существуют 3 вида гексагексафлексагона, 4 вида гептагексафлексагона, 12 видов октагексафлексагонов, 27 видов эннагексафлексагонов и 82 вида декагексафлексагона[3][18].

Тригексафлексагон

Соответственно названию, тригексафлексагон — это шестиугольный флексагон с тремя поверхностями. Это самый простой из всех гексафлексагонов (не считая унагексафлексагона и дуогексафлексагона). Он представляет собой сплющенную ленту Мёбиуса[1][3]. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников[16][1]. Складывание тригексафлексагона осуществляется методом[16][1][19], носящим название pinch flex[20], с поворотом на 60° после каждого складывания.

Шаблон:Викиучебник

Гексагексафлексагон

Гексагексафлексагон — флексагон с шестью шестиугольными поверхностями. Гексагексафлексагон можно изготовить из полоски длиной в 19 треугольников[9][19][17].

Тетрафлексагоны

Шаблон:External media Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей.

Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея[12]. Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок[3].

Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4[21].

Кольцевые флексагоны

Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон — кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая[22]; тригемициркогексафлексагон — флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса)[14].

Путь Таккермана

Файл:Путь Такермана для гексафлексагонов.svg
Диаграмма пути Таккермана для гексагексафлексагона

Простой способ обнаружить все поверхности гексафлексагона — обход Таккермана — заключается в том, чтобы держать флексагон за один угол и раскрывать модель до тех пор, пока она не перестанет раскрываться, затем повернуть флексагон на 60° по часовой стрелке, взяться за соседний угол и повторить то же самое[19][17].

При обходе Таккермана плоскости гексагексафлексагона будут раскрываться в порядке: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (или в обратном порядке), после чего последовательность повторится. Эту последовательность называют путём Таккермана[19][17].

Методы складывания («флексы»)

Гексафлексагоны

Шаблон:External media Описанный выше метод складывания гексафлексагона, используемый для обхода всех плоскостей (пути Таккермана), носит название pinch flex[20]. Существуют следующие методы складывания гексафлексагонов:

  • pinch flex[20] (выполним на гексафлексагонах с тремя и более плоскостями)
  • v-flex[23][24] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя и более плоскостями)
  • tuck flex[25], «лодочка-гексаэдр»[19] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя плоскостями и более)

и др.[26]

Аномалии

Плоскость флексагона (совокупность секторов), на которой присутствуют разные цифры, называется аномальной плоскостью, а флексагон с видимой аномальной плоскостью (в аномальном положении) — аномальным флексагоном[19][17][27]. Появление аномальных плоскостей возможно на флексагонах достаточно высокого порядка, например, на гексагексафлексагоне[19], додекагексафлексагоне[27]. Простейшим гексафлексагоном, допускающим появление аномалий, является тетрагексафлексагон[22]. Для достижения аномальных плоскостей используются методы складывания, отличные от «стандартного» pinch flex[19].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Книги

Статьи

Ссылки

Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1970_01 не указан текст
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline The story of the Flexagon Шаблон:Wayback
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок gardner не указан текст
  4. ↑ Martin Gardner's Collections of "Mathematical Games" Columns Шаблон:Wayback. Muppetlabs
  5. ↑ Шаблон:Статья
  6. ↑ Шаблон:Cite web
  7. ↑ Шаблон:Cite web
  8. ↑ 8,0 8,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок loki3_naming не указан текст
  9. ↑ 9,0 9,1 9,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1970_03 не указан текст
  10. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок pook_fio не указан текст
  11. ↑ 11,0 11,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок loki3_triangles не указан текст
  12. ↑ 12,0 12,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1975_09 не указан текст
  13. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1992_04 не указан текст
  14. ↑ 14,0 14,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1993_11 не указан текст
  15. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1993_12 не указан текст
  16. ↑ 16,0 16,1 16,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок basteleien не указан текст
  17. ↑ 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1970_02 не указан текст
  18. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок oeis_A000207 не указан текст
  19. ↑ 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 19,7 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1977_02 не указан текст
  20. ↑ 20,0 20,1 20,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок loki3_pinch не указан текст
  21. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1972_03 не указан текст
  22. ↑ 22,0 22,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок nkj_1977_08 не указан текст
  23. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок fnet_vflex не указан текст
  24. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок loki3_vflex не указан текст
  25. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок loki3_tuck не указан текст
  26. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок loki3_flexes не указан текст
  27. ↑ 27,0 27,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kvant_1992_10 не указан текст
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Флексагон&oldid=11192839