Русская Википедия:Формальный степенной ряд

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

<math>F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,</math>

в котором коэффициенты <math>a_n</math> принадлежат некоторому кольцу <math>R</math>.

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия

Алгебраические операции

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения (<math>+</math>), умножения (<math>\cdot</math>), формального дифференцирования (<math>'</math>) и композиции (<math>\circ</math>) следующим образом. Пусть

<math>F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, \qquad G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, \qquad H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.</math>

Тогда

<math>H = F + G \iff \forall n \, c_n = a_n + b_n;</math>
<math>H = F \,\cdot\, G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l;</math>
<math>H = F' \iff \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1};</math>
<math>H = F \circ G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\ldots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\ldots b_{k_s}</math> (при этом необходимо, чтобы <math>b_0=0</math>).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом <math>R</math> сами образуют кольцо, обозначаемое <math>RX</math>.

Метрика и топология

В кольце <math>RX</math> также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

<math>d((a_n),\; (b_n)) = 2^{-k},</math>

где <math>k</math> — наименьшее натуральное число такое, что <math>a_k \ne b_k</math>.

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд

<math>F(X)=\sum_{n=0}^\infty a_n X^n </math>

в <math>RX</math> является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда <math>a_0</math> является обратимым в <math>R</math>. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен <math>a_0b_0</math>, и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда <math>G(X)</math> определяются по формуле:

<math>\begin{align}b_0 &= \frac{1}{a_0},\\

b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i},\qquad \forall n \geqslant 1. F(X) G(X) = 1 \end{align}</math>

Если же <math>F(0)=0</math>, а также <math>F'(0) \not= 0</math>, то найдётся ряд <math>G(X)</math> (аналогично <math>H(X)</math>), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что <math>F(G(X))=X</math> (аналогично <math>H(F(X))=X)</math>).

При этом будет выполнено <math>G(0)=0</math> (аналогично <math>H(0)=0</math>). Оставшиеся коэффициенты ряда <math>G(X)</math> (<math>H(X)</math>) можно выразить через коэффициенты <math>F(X)</math> пошагово дифференцируя равенство <math>F(G(X))=X</math> (аналогично <math>H(F(X))=X)</math>) и подставляя в него <math>X=0</math>.

Свойства

См. также

Ссылки

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 54.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Формальный_степенной_ряд&oldid=11199700