Русская Википедия:Форма Киллинга

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Форма Киллинга — симметричная билинейная форма на алгебре Ли определённого типа.

История

Форма Киллинга была введена  Картаном в его диссертации. Название «форма Киллинга» впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы более правильным называть её «формой Картана».

Определение

Рассмотрим алгебру Ли <math>\mathfrak{g}</math> над полем <math>K</math>. Каждый элемент <math>x</math> из <math>\mathfrak{g}</math> определяет эндоморфизм <math>\mathrm{ad}_x\colon \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}</math>

<math>\mathrm{ad}_x\colon z\mapsto [x,z],</math>

где <math>[{*},{*}]</math> — скобка Ли. Предположим, что <math>\mathfrak{g}</math> имеет конечную размерность. Тогда след композиции таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

<math> B(x,y)=\mathrm{trace} (\mathrm{ad}_x\circ\mathrm{ad}_y)</math>

со значениями в <math>K</math>. Эта форма <math> B</math> и называется формой Киллинга на <math>\mathfrak{g}</math>.

Свойства

• Форма Киллинга является билинейной и симметричной.
• Форма Киллинга является инвариантной формой, то есть

  <math>B([x, y], z) = B(x, [y, z]),</math>

где <math>[{*}, {*}]</math> — скобка Ли.

• Если <math>\mathfrak{g}</math> является простой алгеброй Ли, то любая инвариантная симметричная билинейная форма на <math>\mathfrak{g}</math> пропорциональна форме Киллинга.
• Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов алгебры Ли, то есть

  <math>B(s(x), s(y)) = B(x, y)</math>

где <math>s \in Aut(\mathfrak{g})</math>.

• В частности, левоинвариантное поле форм на соответствующей группе Ли, совпадающее с <math>B</math> в единице, является также правоинвариантным, и значит биинвариантным.

• Критерий Картана гласит, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга является невырожденной.
• Форма Киллинга нильпотентной алгебры является тождественным нулем.
• Если <math>I</math> и <math>J</math> — два идеала в алгебре Ли <math>\mathfrak{g}</math> с нулевым пересечением, тогда <math>I</math> и <math>J</math>  образуют ортогональные подпространства по отношению к форме Киллинга.
• Ортогональное дополнение относительно идеала по отношению к форме Киллинга также является идеалом.
• Если алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов, то её форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга на отдельных слагаемых.

См. также

• Инвариант Казимира