Русская Википедия:Форма объёма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Форма объёма — дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть <math>n</math>-форма на <math>n</math>-мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

Свойства

• Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
• На многообразии с формой объёма <math>\omega</math>, дивергенцию векторного поля <math>X</math> можно определить с помощью следующих тождеств:

  <math>(\operatorname{div} X)\cdot\omega = \mathcal{L}_X\omega = d(X\;\lrcorner\;\omega)</math>

где <math>\mathcal{L}_X</math> обозначает производную Ли по <math>X</math>, <math>d</math> — внешний дифференциал, а <math>X\;\lrcorner\;\omega</math> — операцию подстановки <math>X</math> в <math>\omega</math>.

Примеры

• На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие формы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.

• Симплектическое многообразие <math>(M,\omega)</math> размерности <math>2{\cdot}n</math> имеет естественную форму объёма <math>\omega^{\wedge n}</math>.

• Любое ориентированное псевдориманово (в том числе риманово) многообразие имеет естественную форму объёма, которая в локальных координатах может быть выражена как

  <math>\omega = \sqrt{|g|}\cdot dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math>

где <math>|g|</math> — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.