Русская Википедия:Формула Бине — Коши
Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.
Формулировка
Произведение двух прямоугольных матриц <math>A</math> и <math>B</math> дает квадратную матрицу порядка <math>m</math>, если <math>A</math> имеет <math>n</math> столбцов и <math>m</math> строк, а матрица <math>B</math> имеет <math>m</math> столбцов и <math>n</math> строк. Миноры матриц <math>A</math> и <math>B</math> одинакового порядка, равного наименьшему из чисел <math>n</math> и <math>m</math>, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы <math>A</math>) и строках (матрицы <math>B</math>) с одинаковыми номерами.
Определитель матрицы <math>AB</math> равен нулю, если <math>n<m</math>, и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка <math>m</math>, если <math>n\geqslant m</math> (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы <math>A</math> и строк матрицы <math>B</math> с возрастающими номерами <math>i_1<i_2<\ldots<i_m</math>)[1].
Замечания
- В случае <math>n<m</math> формула <math>|AB|=0</math> очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы <math>AB</math> являются линейными комбинациями столбцов матрицы <math>A</math>, то в случае, когда число столбцов матрицы <math>AB</math> больше числа столбцов матрицы <math>A</math>, матрица <math>AB</math>, очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
- В случае <math>n=m</math> формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: <math>|AB|=|A|\,|B|</math>.
- В случае <math>n>m</math> доказательство формулы Бине — Коши более сложно[1].
Пример
Пусть
- <math>A=\left(\begin{matrix}
a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\ \end{matrix}\right),\quad B =\left(\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \\ \end{matrix}\right).</math> Тогда
- <math>A\,B=\left(\begin{matrix}
a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\ a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2 \\ \end{matrix}\right),</math> и соответствующие миноры имеют вид
- <math>\left|\begin{matrix}
a_i & b_i \\ a_j & b_j \\ \end{matrix}\right|</math> при всех <math>i<j</math>, принимающих значения от <math>1</math> до <math>n</math>.
Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство
- <math>(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)-(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,</math>
из которого (в случае, когда все <math>a_i</math> и <math>b_i</math> являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского[1]:
- <math>(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.</math>
Литература
Примечания
Ссылки
