Русская Википедия:Формула Брахмагупты
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.
Шаблон:Рамка Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон <math>a, b, c, d</math> и полупериметр <math>p=\frac{a+b+c+d}{2}</math>, то его площадь <math>S</math> выражается формулой:
- <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}. </math>
Вариации и обобщения
- Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, <math>d=0</math>).
- На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:
- <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta},</math>
- где <math>\theta</math> есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна <math>\theta</math>, то полусумма двух других углов будет <math>180^\circ -\theta</math>, и <math>\cos^2(180^\circ -\theta)=\cos^2\theta.</math>)
- Иногда эту более общую формулу записывают так:
- <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}</math>
- где <math>u</math> и <math>v</math> — длины диагоналей четырёхугольника.
- Если четырёхугольник вписанный, тогда <math>p=a+c=b+d</math>, и обобщённая формула Брахмагупты даёт
- <math>S=\sqrt{abcd}\sin\theta</math>.
- В частности, для вписанно-описанных четырёхугольников
- <math>S=\sqrt{abcd}</math>.
- en (David P. Robbins) доказал, что для любого вписанного многоугольника с <math>n</math> сторонами величина <math>(4S)^2</math> является корнем некоторого многочлена <math>P</math>, коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для <math>n=5</math> и <math>n=6</math>. Другими авторами установлено, что многочлен <math>P</math> можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень <math>N=N(n)</math> была равна <math>\Delta_k</math>, если <math>n=2k+1</math> и <math>2\Delta_k</math>, если <math>n=2k+2</math>. Здесь
- <math>\Delta_k=\frac{2k+1}{2}\binom{2k}{k} - 2^{2k-1}= \sum_{j=0}^{k-1}(k-j)\binom{2k+1}{j},</math>
- где <math>\tbinom{k}{j}=\tfrac{k!}{j!(k-j)!}</math> — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем <math>\Delta_1=1</math>, <math>\Delta_2=7</math>, <math>\Delta_3=38</math>, <math>\Delta_4=187, \dots</math> (Шаблон:OEIS) и <math>N(4)=2</math>, <math>N(5)=7</math>, <math>N(6)=14</math>, <math>N(7)=38, \dots</math> (Шаблон:OEIS).
- Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:
- <math>-16S^2=a^4+b^4+c^4+d^4-2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+c^2d^2)-8abcd </math>
- Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, чтоШаблон:Sfn
- <math>16 S^2 = - \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end{vmatrix} </math>
- Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского [1]
См. также
Примечания
Популярная литература
Научная литература
- ↑ Медных А. Д. О формуле Брахмагупты в геометрии Лобачевского. Математическое просвещение 2012. Выпуск 16. С. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf
