Русская Википедия:Формула Брейта — Вигнера
Формула Брейта — Вигнера или релятивистское распределение Брейта — Вигнера — формула, описывающая непрерывное распределение вероятности с помощью плотности вероятности заданной в виде
- <math> f(E) = \frac{k}{\left(E^2-M^2\right)^2+M^2\Gamma^2}~, </math>
где K — константа пропорциональности, равная <math> k = \frac{2 \sqrt{2} M \Gamma \gamma }{\pi \sqrt{M^2+\gamma}}</math> и <math>\gamma=\sqrt{M^2\left(M^2+\Gamma^2\right)}.</math> Уравнение написано с использованием естественных единиц, где ħ = с = 1. Названа в честь Грегори Брейта и Юджина Вигнера, которые получили её в 1936 году для ядерного резонанса[1].
Формула часто используется для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий. В этом случае, Е — энергия в системе центра масс, которая вызывает резонанс, М — масса резонанса, и Γ — ширина резонанса (ширина распада), связанная с его средним временем жизни в соответствии с формулой τ = 1 / Γ, (в единицах СИ формула запишется в виде τ = ħ / Γ). Вероятность возникновения резонанса при заданной энергии Е пропорциональна f(E), так что график скорости возникновения нестабильных частиц в зависимости от энергии принимает форму релятивистского распределения Брейта — Вигнера. Обратите внимание, что для значений Е таких, что | Е2 — М2| = MΓ, (отсюда | E — M | = Γ / 2 для M>>Γ), значение f падает в два раза от своего максимального значения, что оправдывает название Г шириной на полувысоте.
В пределе исчезающей ширины, Г → 0, частица становится стабильной, так как лоренцево распределение становится бесконечно острым 2M δ(Е2 — М2).
В общем случае, Γ также может быть функцией E; эта зависимость, как правило, важна только когда Γ не мала по сравнению с М, и необходимо принимать во внимание зависимость ширины от объёма фазового пространства. Например, при распаде ро-мезона в пару пионов. Когда резонанс широкий, множитель M2, который стоит перед Г2, также должен быть заменен на E2 (или Е4 / М2, и т. д.)[2].
Форма релятивистского распределения Брейта — Вигнера возникает из пропагатора нестабильной частицы, которая имеет знаменатель вида р2 — М2 + iMΓ. Здесь, р2 — квадрат четыре-импульса частицы. Тогда пропагатор в системе покоя пропорционален квантово-механической амплитуде распада, используемого для реконструкции резонанса[3]
- <math>\frac{\sqrt{k}}{\left(E^2-M^2\right)+iM\Gamma}.</math>
Полученное распределение вероятности пропорционально квадрату модуля амплитуды, так же как и в релятивистском распределении Брейта — Вигнера для функции плотности вероятности.
Форма этого распределения аналогична решению классического уравнения движения для затухающего осциллятора с внешней синусоидальной силой. Он имеет стандартную форму резонанса Лоренца, или распределения Коши, но включает в себя релятивистские переменные S = р2, здесь = E2.
Распределение является решением дифференциального уравнения, аналогичного классическим вынужденным осцилляциям маятника, с усредненной по времени входной мощностью
- <math>
\left\{\begin{array}{l} f'(\text{E}) \left(\left(\text{E}^2-M^2\right)^2+\Gamma^2
M^2\right)-4 \text{E} f(\text{E}) (M-\text{E}) (\text{E}+M)=0 \\[10pt]
f(M)=\frac{k}{\Gamma^2 M^2} \end{array}\right\} </math>.
Примечания
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Brown, L S (1994). Quantum Field Theory, Cambridge University press, ISBN 978-0-521-46946-3, Chapter 6.3.
