Русская Википедия:Формула Гаусса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гауссова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Формулировка

Пусть <math>S</math> — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве <math>M</math>. Тогда

<math>K_S(x)=K_M(\sigma_S(x))+\kappa_1(x)\kappa_2(x),</math>

где

• <math>K_S</math> — гауссова кривизна поверхности <math>S</math> в точке <math>x\in S</math>,
• <math>K_M(\sigma_S(x))</math> — секционная кривизна пространства <math>M</math> в направлении <math>\sigma_S(x)</math>, касательном к поверхности <math>S</math> в точке <math>x</math>,
• <math>\kappa_1(x)</math>, <math>\kappa_2(x)</math> — главные кривизны поверхности <math>S</math> в точке <math>x.</math>

Обобщение на большие размерности

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия <math>S\subset M</math>. В этом случае тензор кривизны <math>R_S</math> подмногообразия <math>S</math> выражается через сужение тензора кривизны <math>R_M</math> пространства <math>M</math> на подпространство касательное к <math>S</math> и вторую квадратичную форму <math>q_S</math> подмногообразия <math>S</math> на касательном пространстве <math>TS</math> со значениями в нормальном пространстве к <math>S</math>:

<math>\langle R_S(X,Y)Z,W\rangle=\langle R_M(X,Y)Z,W\rangle + \langle q_S(Y,W),q_S(X,Z)\rangle-\langle q_S(X,W),q_S(Y,Z)\rangle.</math>

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.

См. также

• Формула Гаусса — Бонне

Литература

• 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
• 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.