Русская Википедия:Формула Гаусса — Бонне

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка

Пусть <math>\Omega</math> — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей <math>\partial \Omega</math>. Обозначим через <math>K</math> гауссову кривизну <math>\Omega</math> и через <math>k_g</math> геодезическую кривизну <math>\partial \Omega</math>. Тогда

<math>\int\limits_\Omega K\,d\sigma + \int\limits_{\partial\Omega}k_g\,ds = 2\pi\chi(\Omega),</math>

где <math>\chi(\Omega)</math> — эйлерова характеристика <math>\Omega</math>.

В частности, если у <math>\Omega</math> нет границы, получаем

<math>\int\limits_\Omega K\,d\sigma = 2\pi\chi(\Omega).</math>

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом[1], Пьер Оссиан Бонне[2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей Шаблон:Lang-fr2. Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика[3]. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке[4].

Вариации и обобщения

  • Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома <math>P_i</math> касательный вектор <math>\boldsymbol{\tau}</math> разворачивается на угол <math>\phi_i</math> в сторону области <math>\Omega</math> (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:
    <math>\int\limits_{\Omega} K \,d\sigma + \int\limits_L k_g \,ds + \sum_i \phi_i = 2 \pi \chi(\Omega).</math>
  • Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
  • Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
  • Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса — Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы <math>\pi</math>.

См. также

Ссылки

  1. ↑ C. F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
  2. ↑ Bonnet, 1848 'Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces', J. École Polytechnique 19 (1848) pp. 1—146.
  3. ↑ von Dyck W. Beiträge zur analysis situs. Math Ann, 32: 457–512 (1888).
  4. ↑ Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921.
  • С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, № 9, с. 116—121.
  • Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem". Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777—784.
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Формула_Гаусса_—_Бонне&oldid=11200183