Русская Википедия:Формула Гаусса — Остроградского

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Дзт Фо́рмула Гаусса —Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Поток вектора <math>\mathbf{a}</math> через замкнутую поверхность <math>S</math> равен интегралу от <math>\operatorname{div}\mathbf a,</math> взятому по объему <math>V</math>, ограниченному поверхностью <math>S</math>

<math>\iint\limits_S\mathbf{a}\cdot d\mathbf{s}=

\iiint\limits_V\operatorname{div}\mathbf a\cdot d\mathbf{v} </math>

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

<math>\iint\limits_S a_x\,dy\,dz + a_y\,dz\,dx + a_z\,dx\,dy=

\iiint\limits_V\left(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz</math>

<math>a_x, a_y, a_z</math> - проекции вектора <math>\mathbf{a}

</math>

Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:

1) в соленоидальном поле (<math>\operatorname{div}\mathbf a=0</math>) поток вектора <math>\mathbf{a}</math> через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2) если внутри замкнутой поверхности <math>S</math> имеется источник или сток, то поток вектора <math>\mathbf{a}</math> через эту поверхность не зависит от ее формы.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

<math>\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\omega=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\, ds,</math>

где <math>d\omega</math> и <math>ds</math> — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. <math>P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)</math> — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Современная запись формулы:

<math>\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\Omega=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS,</math>

где <math>\cos\alpha\,{dS}={dy}{dz}</math>, <math>\cos\beta\,{dS}={dz}{dx}</math> и <math>\cos\gamma\,{dS}={dx}{dy}</math>. В современной записи <math>\omega=d\Omega</math> — элемент объёма, <math>s=dS</math> — элемент поверхности.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762.

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики.

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от <math>n</math>-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации <math>n</math>-кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (Шаблон:Lang-en), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

См. также

• Теорема Стокса
• Теорема Грина

Литература

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

Внешние ссылки