Русская Википедия:Формула Герона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника <math>S</math> по длинам его сторон <math>a, b, c</math>:

<math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>,

где <math>p</math> — полупериметр треугольника: <math>p = \tfrac{1}{2}\cdot(a+b+c)</math>.

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

{{Hider|

 title = Доказательство 1 (тригонометрическое):|
 hidden = 0 |
 title-style = text-align: left; |
 content-style = text-align: left; |
 content = 

<math>S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}</math>,

где <math>\ \gamma</math> — угол треугольника, противолежащий стороне <math>c</math>. По теореме косинусов:

<math>c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,</math>

Отсюда:

<math>\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},</math>

Значит,

<math>\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=</math>

<math>={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=</math>

<math>={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)</math>.

Замечая, что <math>a+b+c=2p</math>, <math>a+b-c=2p-2c</math>, <math>a+c-b=2p-2b</math>, <math>c-a+b=2p-2a</math>, получаем:

<math>\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.</math>

Таким образом,

<math>S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math>

ч.т.д.}}

Шаблон:Hider = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{align} </math> ч.т.д.}}

Вариации и обобщения

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

  <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>

  <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>

  <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math>

  <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math>

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

  <math>-16 S^2 = \begin{vmatrix}

0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c & 0 \\ b & a & 0 & c \\ c & 0 & a & b \\ 0 & c & b & a \end{vmatrix} </math>

Первый определитель последней формулы является частным случаем Шаблон:Iw для вычисления гиперобъёма симплекса.

• Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан <math>m_a</math>, <math>m_b</math> и <math>m_c</math> и их полусумму <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math>:

  <math>S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}</math>;

через длины высот <math>h_a</math>, <math>h_b</math> и <math>h_c</math> и полусумму их обратных величин <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math>:

<math> S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} </math>;

через углы треугольника <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math>, полусумму их синусов <math>s = (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)/2</math> и диаметр описанной окружности <math>D = \tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}</math>:

<math>S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.</math>

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

  <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>,

где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель:

<math>S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end{vmatrix}} </math>

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны <math>l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6</math>, то для его объёма <math>V</math> верно выражение:

  <math>\begin{align}144 V^2 = \;\; & l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) \\

+ & l_2^2 l_6^2 (l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) \\ + & l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) \\ - & l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2 \end{align}</math>.

• Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если <math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math>, <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math> являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро <math>u</math> противоположно ребру <math>U</math> и так далее), тогда справедливы формулы:

  <math>

\text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>

где:

<math>

   \begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W) \end{align} 

</math>.

• По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны <math>\theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R}</math> как:

  <math>S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>,

где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.

Литература

• § 258 в Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора

Внешние ссылки