Русская Википедия:Формула Кардано

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

<math>y^3+py+q=0</math>

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано».

Любое кубическое уравнение общего вида

<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>

при помощи замены переменной

<math>x = y - \frac{b}{3a}</math>

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

<math>p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2},</math>

<math>q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}.</math>

Формула

Определим величинуШаблон:Sfn:

<math> Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2.</math>

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

• <math>Q > 0</math> — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
• <math>Q = 0</math> — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если <math>p = q = 0</math>, то один трёхкратный вещественный корень.
• <math>Q < 0</math> — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

<math>y_1 = \alpha + \beta, </math>

<math> y_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3}, </math>

где

<math> \alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} }, </math>

<math> \beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} }, </math>

Дискриминант многочлена <math>y^3+py+q</math> при этом равен <math>\Delta = - 108 Q</math>.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений <math>\alpha</math> необходимо брать такое <math>\beta</math>, для которого выполняется условие <math>\alpha\beta=-p/3</math> (такое значение <math>\beta</math> всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения <math>\alpha, \beta</math>.

{{Hider|

 title = Вывод |
 hidden = 1 |
 title-style = text-align: left; |
 content-style = text-align: left; |
 content = 

Представим уравнение в виде

<math>\prod^3_{i=1}(y-y_i) = 0 \qquad (1)</math>

где <math>y_i</math> - корни уравнения. Тогда

<math>\prod^3_{i=1}(y_i) = -q. \qquad (2)</math>

Примем:

<math>\ -q=\alpha^3 + \beta^3 \qquad (3)</math>

Тогда, решая уравнение (3) получим

<math>\ -q=( \alpha + \beta )(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha \beta) \qquad (4)</math>

Одним из корней будет <math>\ y=\alpha+\beta</math>. Подставив его в исходное уравнение, получим:

<math>\alpha^3 + \beta^3+ (3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)+q=0</math>

Подставляя q из (3), приходим к системе:

<math>\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.</math>

Зная, что в общем случае сумма <math>\alpha+\beta</math> не равна нулю, получаем систему

<math>\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.</math>

которая равносильна системе

<math>\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27}=m \\ \alpha^3 + \beta^3=-q=-n\end{matrix}\right.</math>

Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней <math>\alpha^3</math> и <math>\beta^3</math> квадратного уравнения:

<math>\ z^2+nz+m=0</math>

Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена

<math>\ \alpha^2 + \beta^2 - \alpha \beta </math>

}}

См. также

• Кубическое уравнение
• Метод Феррари
• Резольвента алгебраического уравнения
• Тарталья, Никколо
• Теорема Абеля — Руффини

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
• http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf