Фо́рмула Карно́ — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от произвольной точки плоскости до 3 сторон треугольника и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (1753—1823).
Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна <math>R + r</math>, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.
где <math>k_a,k_b,k_c</math> — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон <math>a,b,c</math> треугольника
(они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а
<math>d_A,d_B,d_C</math> — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин <math>A,B,C</math> треугольника.
Расстояние от центра описанной окружности например до стороны <math>a</math> треугольника равно:
<math>k_a=a/(2 \mathop{\rm tg} A);</math>
расстояние от ортоцентра например до вершины <math>A</math> треугольника равно:
Формулу Карно часто называют теоремой КарноШаблон:Sfn.
Следствия
Японская теорема о вписанном многоугольнике:Шаблон:Sfn Если вписанный <math>n</math>-угольник разрезать на <math>n-2</math> треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
Более того, выпуклый <math>n</math>-угольник является вписанным, если это условие соблюдается.
