Русская Википедия:Формула Кирхгофа
Фо́рмула Ки́рхгофа[1] — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.
Полная формулировка задачи и ответа
Рассмотрим уравнение
- <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\triangle u = f</math>, где функции <math>u=u(\mathbf{x},t)</math> и <math>f=f(\mathbf{x},t)</math> определены на <math>(\mathbf{x},t)\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^+</math>, а <math>\triangle</math> — оператор Лапласа.
Это уравнение определяет распространение бегущей волны в <math>n</math>-мерной однородной среде со скоростью <math>a</math> в моменты времени <math>t>0</math>.
Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени <math>t=0</math>:
- <math>u|_{t=0}=\varphi_0(\bar{x}),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\varphi_1(\bar{x})</math>
Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:
- <math>
u(\mathbf{x},t)= \frac{\partial}{\partial t}\left [ \frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_0(\mathbf{y})d^2 S_n \right ] +
\frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_1(\mathbf{y})d^2 S_n + \frac{1}{4\pi a^2}\iiint\limits_{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | \leqslant at}\frac{f\left ( \mathbf{y}, t-\frac{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }{a}\right ) }{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }d^3\mathbf{y}
</math>
где поверхностные интегралы берутся по сфере <math>S\colon \left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | =at</math>.
Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.
Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.
Физические следствия
Пусть в начальный момент времени <math>t=0</math> на некотором компакте <math>M</math> есть локальное возмущение (<math>\varphi_0\ne0</math> и/или <math>\varphi_1\ne0</math>). Если мы находимся в некоторой точке <math>\bar{x}_0\in\mathbb{R}^3</math>, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время <math>t_1=\frac{1}{a}\inf_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right |</math>.
Вне отрезка времени <math>\left [ t_1; t_2 \right ]</math>, где <math>t_2=\frac{1}{a}\sup_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right |</math>, функция <math>u(x_{0},t)</math> равна нулю.
Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в <math>\mathbb{R}^2</math>, уже не будет компактным в <math>\mathbb{R}^3</math>, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).[2]
Формула Пуассона — Парсеваля
Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)
- <math>u_{tt}=a^2 \triangle u + f</math>
- (функция <math>f(x,t)</math> соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
- <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)</math>
задаётся формулой:
- <math>
u(\bar{x},t)=u(x_1,x_2,t)= \frac{1}{2\pi a}\int\limits_0^t\iint\limits_{r<a(t-\tau)}\frac{f(y_1,y_2,\tau)dy_1 dy_2 d\tau}\sqrt{a^2(t-\tau)^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2} +\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r<at}\frac{\varphi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2} +\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r<at}\frac{\psi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2}</math>.
Формула Д'Аламбера
Решение одномерного волнового уравнения
- <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} + f\quad</math> (функция <math>f(x,t)</math> соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
- <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)</math>
имеет вид[3]
- <math>u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s,\tau)ds d\tau</math>
При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области <math>\mathbb{R}^1\times[0, T]</math>. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: <math>u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)</math>, то есть оно определяется двумя семействами характеристик: <math>x+at=\xi,\ x-at=\eta</math>. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии <math>x\ge 0</math>. Видно, что в область <math>\mathrm{I}</math> приходят как <math>\xi</math>-характеристики, так и <math>\eta</math>-характеристики, в то время как в области <math>\mathrm{II}</math> есть только <math>\xi</math>-характеристики. То есть, в области <math>\mathrm{II}</math> формула Д’Аламбера не работает.
Применение формул
В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\triangle u+f(\bar{x},t)</math> с начальными условиями <math>u(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ u_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x})</math> и искать решение в виде суммы трех функций: <math>u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)</math>, которые удовлетворяют следующим условиям:
- <math>
\frac{\partial^2 A}{\partial t^2}=a^2\triangle A+f(\bar{x},t), \qquad A(\bar{x},0)=0,\ A_t(\bar{x},0)=0;</math>
- <math>
\frac{\partial^2 B}{\partial t^2}=a^2\triangle B, \qquad B(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ B_t(\bar{x},0)=0;</math>
- <math>
\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=a^2\triangle C, \qquad C(\bar{x},0)=0,\ \mathit{C}_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x}). </math>
Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть <math>\varphi_1(x,y,z)=\frac{1}{1+(x+3y-2z)^2}</math>. Тогда после замены <math>\xi=x+3y-2z</math> уравнение для задачи «С» примет вид:
- <math>
\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=14a^2\frac{\partial^2 C}{\partial \xi^2}, \qquad \mathit{C}(\xi,0)=0,\ C_t(\xi,0)=\frac{1}{1+\xi^2}. </math>
Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:
- <math>
C(\xi,t)=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\int\limits_{\xi-\sqrt{14}at}^{\xi+\sqrt{14}at}\frac{d\eta}{1+\eta^2}=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\left ( \operatorname{arctg}(\xi+\sqrt{14}at)-\operatorname{arctg}(\xi-\sqrt{14}at)\right ) . </math>
В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области <math>t>0</math>.
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Статья Ки́рхгоф, Густав Роберт. Большая советская энциклопедия (2-е издание).
- ↑ Книга:Физическая энциклопедия
- ↑ Формула Д’Аламбера Шаблон:Wayback в Физической энциклопедии
