Русская Википедия:Формула Клаузиуса — Моссотти
Фо́рмула Кла́узиуса — Моссо́тти описывает связь статической диэлектрической проницаемости диэлектрика с поляризуемостью составляющих его частиц[1]. Получена независимо друг от друга в 1850 г. Оттавиано Ф. Моссотти[2] и в 1879 г. Рудольфом Ю. Э. Клаузиусом[3]. В случаях, когда вещество состоит из частиц одного сорта, в Гауссовой системе единиц формула имеет вид:
- <math> \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} = \frac{4 \pi}{3} N \alpha, </math>
где <math>\varepsilon</math> — диэлектрическая проницаемость, <math>N</math> — количество частиц в единице объёма, а <math>\alpha</math> — их поляризуемость.
Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент <math>\alpha</math>, связывающий напряжённость постоянного электрического поля <math>\vec{E}</math>, действующего на частицу, с дипольным моментом <math>\vec{p}</math>, образующимся у частицы под действием этого поля[4]:
- <math>\vec{p}=\alpha\vec{E}. </math>
Поскольку предполагается, что поле во времени не изменяется, то его действие способно вызывать смещения частиц как с малой массой — электронов, так и с большой — ионов и атомов. Соответственно, в данном случае поляризуемость включает в себя электронную, ионную и атомную поляризуемости.
Формулу записывают также в виде:
- <math> \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}\cdot\frac{M}{\rho} = \frac{4 \pi}{3} N_\mathrm A \alpha, </math>
где <math>M</math> — молекулярная масса вещества, <math>\rho </math> — его плотность, а <math>N_\mathrm A</math> — постоянная Авогадро.
Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями <math> \alpha_i </math> и объёмными концентрациями <math>N_i</math>, то формула принимает вид:
- <math> \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} = \frac{4 \pi}{3}\left [N_1 \alpha_1+ N_2 \alpha_2+\cdots +N_n \alpha_n\right ].</math>
Формула применима только по отношению к неполярным диэлектрикам, то есть к таким, частицы которых собственным дипольным моментом не обладают. Для применимости формулы необходимо также, чтобы диэлектрик был изотропным.
Вывод
Макроскопическую поляризацию <math>\vec P</math> можно представить как сумму индуцированных дипольных моментов <math>\vec{p}_{\text{ind}}</math> в рассматриваемом объеме, деленную на объем (как плотность дипольного момента):
- <math>\vec{P} = N\vec{p}_{\text{ind}} = N\alpha \vec{E}_{\text{local}}</math>
где <math>N</math> - концентрация частиц , <math>\alpha</math> - поляризуемость, <math>\vec{E}_{\text{local}}</math> - локальное электрическое поле, действующее на атом или молекулу.
Запишем связь поляризации и среднего макроскопического поля через диэлектрическую восприимчивость <math>\chi</math> и диэлектрическую проницаемость <math>\varepsilon_{\mathrm{r}}</math>:
- <math>\vec{P} = \chi \varepsilon _{0}\vec{E} = \left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}</math>
и получим следующее равенство:
- <math>\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha \vec{E}_{\text{local}}</math>
Теперь необходимо связать локальное поле со средним.
Заметим, что для разреженных газов локальное поле равно внешнему, <math>\vec{E}_{\text{local}}=\vec{E}</math> , и тогда:
- <math>\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} -1 \right) = \frac{N}{\varepsilon _{0}}\alpha </math>
Для диэлектрика локальное поле не равно приложенному внешнему полю, поскольку соседние индуцированные диполи также создают электрическое поле.
- <math>\vec{E}_{\text{local}}=\vec{E}+\vec{E}_{\text{L}}</math>
- <math>\vec{E}</math>: внешнее электрическое поле
- <math>\vec{E}_{\text{L}} = \vec{P}/(3\varepsilon_0)</math>: электрическое поле окружения, созданное поляризацией за пределами сферы Лоренца.
Таким образом, локальное поле:
- <math>\vec{E}_{\text{local}} = \vec{E} + \frac{1}{3\varepsilon _{0}}\vec{P} = \vec{E} + \frac{\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}\vec{E} = \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}</math>
При подстановке в равенство выше:
- <math>\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}</math>
в итоге получаем формулу Клаузиса-Моссотти:
- <math>\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} = \frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}}</math>
Обсуждение
Приближённый характер присущ формуле изначально, поскольку приближённой является модель диэлектрика, используемая при её выводе. Действительно, в общем случае нет оснований полагать, что диэлектрик состоит из отдельных частиц с поляризуемостями, присущими им как таковым. Так, в диэлектриках с ковалентными связями электроны могут принадлежать сразу двум атомам. В ионных кристаллах такого обобществления не происходит, но поляризуемости ионов в кристаллах могут существенно отличаться от их поляризуемостей в свободном состоянии.
Точность формулы зависит от агрегатного состояния среды, для описания которой она используется. С наиболее высокой точностью формула справедлива для газов и жидкостей.
Обобщением формулы Клаузиуса — Моссотти на случай полярных диэлектриков, частицы которых обладают дипольным моментом и в отсутствие поля, является формула Ланжевена – Дебая[5].
В случае оптических частот электромагнитного поля, соответствующих видимому и ультрафиолетовому излучению, смещения ионов и атомов под действием поля происходить не успевают. Поэтому на формирование диэлектрической проницаемости влияют только электронные поляризуемости частиц. Соответственно, в этом случае используется аналог формулы Клаузиуса — Моссотти, справедливый для оптического излучения, — формула Лоренца — Лоренца.
В настоящее время формула Клаузиуса — Моссотти используется не только в её первоначальном виде, формулу продолжают развивать и совершенствовать для повышения точности получаемых результатов и расширения сферы её применения[6].
См. также
Примечания
Шаблон:Примечания7. А.П. Александров и др. Физика диэлектриков под редакцией проф. А.Ф. Вальтера .ГТТИ , Ленинград 1932 Москва.
