Русская Википедия:Формула Клейна — Нисины

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Klein-Nishina distribution-ru.svg

Распределение Клейна — Ниcины интенсивности рассеяния фотонов в зависимости от угла рассеивания для разных энергий. Видимый свет (2,75 эВ) рассеивается вперед и назад одинаково по всем углам и образует излучение солнечной короны видимое во время полного солнечного затмения. Это рассеяние очень хорошо описывается классической электродинамикой (томсоновское рассеяние).
Рентгеновские лучи (60 кэВ), испускаемые при переходе в электронных оболочках L в K в вольфрамовых мишенях в рентгеновских аппаратах будут более рассеиваться вперед через тело пациента, хотя рассеяние назад также будет происходить.
Фотоны возникающие в результате аннигиляции позитронов (511 кэВ) менее вероятно рассеиваются назад.
Фотоны возникающие при распаде калия-40 (1,460 МэВ), рассеиваются в основном вперед и с малой вероятностью назад.
Гамма-всплески галактических гамма-источников (10 МэВ) рассеиваются почти исключительно вперед.

Фо́рмула Кле́йна — Ниси́ны — формула, описывающая древовидную часть полного сечения комптоновского рассеяния света на электроне. Установлена Оскаром Клейном и Ёсио Нисиной в 1928 году.

Рассеяние электромагнитных волн на заряженных частицах, при котором падающая и рассеянная волна имеют разные частоты, называется комптоновским рассеянием. Дифференциальное и полное сечение такого рассеяния рассчитывается в квантовой электродинамике. Оно наблюдается при рассеянии рентгеновских лучей на электронных оболочках атомов и рассеянии гамма-лучей на электронах и атомных ядрах.

Изменение длины волны <math>\Delta \lambda </math> при комптоновском рассеянии определяется формулой:

<math>\Delta \lambda = 2\lambda_0 \sin^2 (\theta /2),</math>

<math>\lambda_0 = h/m_0c,</math>

<math>\lambda_0 = 2{,}426\cdot 10^{-12} </math> м,

где <math>\lambda_0 </math> — комптоновская длина волны электрона,

<math>\theta </math> — угол между направлением падающей и рассеянной волнами,

<math>h </math> — постоянная Планка,

<math>m_0 </math> — масса электрона,

<math>c </math> — скорость света.

Частота излучения <math>\omega^\prime</math> после рассеяния определяется формулой Комптона:

<math>\omega^\prime = \frac{\omega}{1 + \varepsilon (1 - \cos \theta)}</math>,

где <math>\varepsilon = \hbar \omega/m_0c^2,</math> <math>\hbar = h/2\pi,</math>

<math>\omega</math> — частота падающей волны.

Полное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне:

<math>\sigma_k = 2\pi r_0^2 \left[\frac{1+\varepsilon}{\varepsilon^2}\left(\frac{2+2\varepsilon}{1+2\varepsilon} - \frac{\operatorname{ln}(1+2\varepsilon)}{\varepsilon}\right) + \frac{\operatorname{ln}(1+2\varepsilon)}{2\varepsilon} - \frac{1+3\varepsilon}{(1+2\varepsilon)^2}\right].</math>

Формула подтверждается экспериментально обнаруженным отклонением рассеяния фотонов на электронах при высоких энергиях от низкоэнергетичного томсоновского рассеяния, описываемого в рамках классической электродинамики (см. рисунок). Если энергия <math>\hbar \omega </math> падающего фотона значительно меньше массы электрона <math>m_0c^2</math>, то есть <math>\hbar \omega \ll m_0c^2,</math> или <math>\lambda \gg \lambda_0, </math> где <math>\lambda_0 </math> — комптоновская длина волны электрона, то <math>\varepsilon \rightarrow 0,</math> и формула Клейна — Нисины сводится к классической формуле Томсона (в частности, отношение частот падающей и рассеянной волн <math>\omega / \omega^\prime = 1 + \varepsilon (1 - \cos \theta)</math> при этом теряет угловую зависимость и стремится к единице).

При высоких энергиях, когда <math>\hbar \omega \gg m_0c^2</math>, формула для полного сечения приобретает вид:

<math>\sigma_k = \frac{\pi r_0^2}{\varepsilon}\left(\frac{1}{2} + \operatorname{ln}(2\varepsilon)\right) = \pi r_0^2 \frac{m_0c^2}{\hbar \omega }\left(\operatorname{ln}\;\frac{2\hbar \omega }{m_0c^2} + \frac{1}{2} \right)</math>.

Интенсивность <math>I^\prime</math> рассеянного излучения на расстоянии <math>R</math> от центра рассеяния связана с интенсивностью <math>I</math> падающей волны и отношением частот <math>\omega^\prime / \omega </math> соотношением

<math>I^\prime = \frac{I}{R^2}\frac{\omega^\prime}{\omega}\frac{d\sigma}{d\Omega},</math>

где <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}</math> — дифференциальное сечение рассеяния.

Литература

• Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики. — Киев: Наук. думка, 1989. — 864 с.