Русская Википедия:Формула Крофтона
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.
Названа в честь Моргана Крофтона.
Формулировка
Пусть <math>\gamma</math> — спрямляемая плоская кривая. Для прямой <math>l</math>, обозначим через <math>n_\gamma(l)</math> число точек, в которых <math>\gamma</math> и <math>l</math> пересекаются. Мы можем параметризовать ориентированные прямые <math>l</math> углом <math>\varphi</math> к выбранному направлению и расстоянием <math>p</math> от начала координат, взятым со знаком. Тогда длина кривой <math>\gamma</math> равна
- <math>L = \frac14 \int\limits_0^{2\cdot\pi}d\varphi\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} n_\gamma(\varphi, p)\cdot dp.</math>
Замечания
- Дифференциальная форма
- <math>d\varphi\wedge dp</math>
- инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.
- Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности.
Приложения
Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов:
- Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину.
- Теорема Барбье: Кривая постоянной ширины <math>a</math> имеет периметр <math>\pi\cdot a</math>.
- Изопериметрические неравенства: среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь.
- Если сферическая кривая имеет длину меньше <math>2{\cdot}\pi</math>, то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве теоремы Фенхеля о повороте кривой.
Вариации и обобщения
- Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины.
- Например, длина кривой на единичной сфере равна <math>\pi\cdot n</math>, где <math>n</math> обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.
- Преобразование Радона может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры.
- Формула Сантало
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Лекция 19 в Шаблон:Книга
