Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы <math>A = (a_{i,j})</math> размера <math>n \times n</math> через перестановки её элементов:
- <math>\det(A) = \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) \prod_{i = 1}^n a_{i, \tau(i)} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i},</math>
где <math>\sgn</math> — функция знака перестановки в группе перестановок <math>S_n</math>, которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.
С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна:
- <math>\det(A)=\epsilon_{i_1\cdots i_n}{a}_{1i_1}\cdots {a}_{ni_n}</math>.
Названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году.
Единственная Шаблон:Не переведено 5, обращающаяся в единицу на единичной матрице — это функция, определённая формулой ЛейбницаШаблон:Sfn; таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция, полилинейная относительно столбцов, обращающаяся в единицу на единичной матрице.
Вычислительная сложность
Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае <math>\Omega(n! \cdot n)</math> операций, то есть, число операций асимптотически пропорционально факториалу <math>n</math> (числу упорядоченных перестановок из <math>n</math> элементов). Для больших <math>n</math> определитель можно вычислить за <math>O(n^3)</math> операций путём формирования LU-разложения <math>A = LU</math> (обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов), и в этом случае <math>\det A = (\det L) (\det U)</math>, а определители треугольных матриц <math>L</math> и <math>U</math> равняются произведениям диагональных элементов матриц. (В практических приложениях вычислительной линейной алгебры, однако, явное вычисление определителя используется редкоШаблон:Sfn).
Смотрите также
Литература
Шаблон:Rq
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|