Русская Википедия:Формула Лейбница (производной произведения)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Формула Лейбница для <math>n</math>-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай <math>n</math>-кратного дифференцирования.

Пусть функции <math>f(z)</math> и <math>g(z)</math> — <math>n</math> раз дифференцируемые функции, тогда

<math>\left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)}g^{(k)}},</math> где <math>C_n^k={n\choose k}={{n!}\over{k!\;(n-k)!}}</math> — биномиальные коэффициенты.

Примеры

При <math>n=1</math> получается известное правило производной произведения:

<math>(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.</math>

В случае <math>n=2</math>, например, имеем:

<math>(f\cdot g)=\sum\limits_{k=0}^{2}{C_2^k f^{(2-k)}g^{(k)}}={fg}+{2f'g'}+{fg}.</math>

В случае <math>n=3</math>, например, имеем:

<math>(f\cdot g)=\sum\limits_{k=0}^{3}{C_3^k f^{(3-k)}g^{(k)}}={fg}+{3fg'}+{3f'g}+{fg}.</math>

В случае <math>n=4</math>, например, имеем:

<math>(f\cdot g)^{(4)}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_4^k f^{(4-k)}g^{(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)}}+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.</math>

Доказательство и обобщение

Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:

<math>\partial^\alpha (fg) = \sum_{ \{\beta\,:\,\beta \le \alpha \} } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\alpha - \beta} f) (\partial^{\beta} g).</math>

Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и <math>R = P \circ Q</math>. Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:

<math>R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle}).</math>

Непосредственное вычисление дает:

<math>R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi).</math>

Эта формула также известна как формула Лейбница.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга