Русская Википедия:Формула Лоренца — Лоренца
Шаблон:Другие значения термина Фо́рмула Ло́ренца — Ло́ренца связывает показатель преломления вещества с электронной поляризуемостью частиц (атомов, ионов, молекул), из которых оно состоит. Формулу получили датский физик Людвиг В. Лоренц (Шаблон:Lang-da) и голландский физик Хендрик А. Лоренц (Шаблон:Lang-nl) в 1880 году независимо друг от друга[1][2].
Определение
Если вещество состоит из частиц одного сорта, то формула имеет вид[3]:
- <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi}{3} N \alpha, </math>
где <math>n</math> — показатель преломления, <math>N</math> — количество частиц в единице объёма, а <math>\alpha</math> — их поляризуемость.
Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент <math>\alpha</math>, связывающий напряжённость электрического поля <math>\boldsymbol E</math>, действующего на частицу, с дипольным моментом <math>\boldsymbol p</math>, образующимся у частицы под действием этого поля[4]:
- <math>\boldsymbol p=\alpha\boldsymbol E. </math>
Здесь и далее жирным шрифтом выделяются векторные величины.
Формулу записывают также в виде:
- <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}\cdot\frac{M}{\rho} = \frac{4 \pi}{3} N_\mathrm A \alpha, </math>
где <math>M</math> — молекулярная масса вещества, <math>\rho </math> — его плотность, а <math>N_\mathrm A</math> — постоянная Авогадро. При этом величину <math> \frac{4 \pi}{3} N_\mathrm A \alpha </math> называют молекулярной рефракцией.
Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями <math> \alpha_i </math> и объёмными концентрациями <math>N_i</math>, то формула принимает вид:
- <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi}{3}\left [N_1 \alpha_1+ N_2 \alpha_2+\cdots +N_n \alpha_n\right ].</math>
Вывод формулы основан на рассмотрении микроскопического поля и его взаимодействия с атомами, молекулами и ионами вещества. При выводе предполагается, что среда является изотропной, а составляющие её частицы собственным дипольным моментом не обладают[5].
Обсуждение
Воздействие внешнего электромагнитного поля с относительно высокими частотами, соответствующими видимому и УФ-диапазону спектра, приводит к смещению только электронных оболочек относительно атомных ядер, в то время как более массивные частицы (атомы и ионы) за период колебаний поля сместиться с занимаемых ими мест не успевают. Соответственно, в поляризацию среды вносит вклад только электронная поляризация, и показатель преломления оказывается связан с электронной поляризуемостью частиц формулой Лоренца — Лоренца.
При более низких частотах колебаний поля атомы и ионы успевают смещаться под действием поля, и поэтому вносят свой вклад в общую поляризацию. В результате становится необходимым, помимо электронной поляризуемости, учитывать атомную и ионную поляризуемости. Аналогом формулы Лоренца — Лоренца для постоянных полей является формула Клаузиуса — Моссотти[6], описывающая связь диэлектрической проницаемости вещества с поляризуемостями составляющих его частиц:
- <math> \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \cdot \frac{M}{\rho} = \frac{4\pi}{3} N_\mathrm A \alpha.</math>
В полярных диэлектриках частицы среды обладают собственным дипольным моментом, то есть таким, который они имеют и в отсутствие внешнего электрического поля. Непосредственное применение формулы Лоренца — Лоренца в её обычном виде в таких случаях невозможно. Дальнейшим развитием формулы Лоренца — Лоренца, пригодным в том числе и для случая полярных диэлектриков (но для относительно низких частот колебаний поля), стала формула формула Ланжевена — Дебая[7].
Формула Лоренца — Лоренца лежит в основе структурной рефрактометрии. Она широко используется при изучении и контроле составов различных веществ, для исследования их строения и превращений, происходящих в результате протекания химических реакций[8][9].
Классическая теория дисперсии
Формула Лоренца — Лоренца является одним из оснований теории дисперсии света в классическом приближении[5][10]. В этой теории оптические электроны рассматриваются как дипольные осцилляторы, характеризуемые собственной частотой <math>\omega_0</math>. В случае, когда затуханием колебаний электронов можно пренебречь[11], уравнение колебаний имеет вид:
- <math> \ddot \boldsymbol r + \omega_0^2 \boldsymbol r = \frac{e}{m}\boldsymbol E(t), </math>
где <math>\boldsymbol r </math> — смещение электрона из положения равновесия, <math> \ddot \boldsymbol r</math> — вторая производная <math>\boldsymbol r </math> по времени (ускорение электрона), <math>e</math> и <math>m</math> — заряд и масса электрона соответственно, а <math>\boldsymbol E(t)</math> — напряжённость электрического поля.
В результате решения уравнения для монохроматического поля, изменяющегося с частотой <math>\omega</math>, сначала получается зависимость <math>\boldsymbol r(t)</math>, а затем и поляризуемость <math>\alpha</math>:
- <math>\alpha= \frac{ e^2}{m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}.</math>
После подстановки полученного выражения в формулу Лоренца — Лоренца возникает дисперсионная формула вида:
- <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi N e^2}{3 m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}. </math>
Обычно свой вклад в формирование показателя преломления вносят несколько линий поглощения с частотами <math>\omega_{0i}</math>. В таком случае дисперсионная формула принимает вид:
- <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi N e^2}{3 m} \sum_i \frac{ f_i}{\omega_{0i}^2-\omega^2}, </math>
где <math>f_i</math> — безразмерные коэффициенты (силы осцилляторов), показывающие эффективность участия соответствующих осцилляторов в явлениях дисперсии и удовлетворяющие правилу <math>\sum_i f_i=1</math>.
История
Шаблон:Часть изображения Шаблон:Часть изображения Статьи Людвига В. Лоренца[12] и Хендрика А. Лоренца[13] с сообщениями о получении формулы были опубликованы практически одновременно в 1880 году. М. Борн и Э. Вольф такое одновременное получение результата учёными с почти одинаковыми (в оригинальном написании) фамилиями называют «удивительным совпадением»[5].
Сам Хендрик Лоренц в своей книге писал так: «…этот результат был найден Лоренцом в Копенгагене за несколько времени до того, как я вывел его из электромагнитной теории света, что, конечно, является любопытным случаем совпадения»[14].
Хотя Хендрик А. Лоренц не был тем, кто первым вывел формулу, и на эту роль не претендовал, в её наименовании, обычно употребляемом в англоязычной литературе, его имя стоит в начале: «Lorentz — Lorenz equation», «Lorentz — Lorenz formula» или «Lorentz — Lorenz relation».
Ранее, до того, как в русской научно-технической литературе сложилась общепринятая традиция, использовались различные варианты наименования формулы, включая такие, как формула «Лоренц — Лоренца», «Лоренц — Лорентца», «Лорентц — Лоренца» и «Лорентца — Лоренца».
В своё время значение формулы Лоренца — Лоренца не исчерпывалось только тем, что она дала возможность количественного описания формирования значения показателя преломления веществ. Как писали М. Борн и Э. Вольф, «…она служит мостом, связывающим феноменологическую теорию Максвелла с теорией атомного строения вещества»[5].
Несмотря на солидный «возраст», формулу Лоренца — Лоренца в настоящее время не только достаточно широко применяют, но и продолжают развивать, расширяя возможности её использования[15].
См. также
Примечания
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:БРЭ
- ↑ Здесь и далее используется система единиц измерения СГС.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Затухание мало, если частота света существенно отличается от частот, на которых располагаются линии поглощения вещества.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Mário G. Silveirinha. Generalized Lorentz-Lorenz formulas for microstructured materials. Phys. Rev. B. 2007, Vol.76, Issue 24, 245117, 17 December 2007.
