Русская Википедия:Формула Маграбе
В финансовой математике, формула Маграбе это одна из формул оценки опционов. Она применяется к опциону на обмен (опцион Маграбе) одного рискованного актива на другой в момент погашения. Формула была независимо предложена Вильямом Маграбе и Стенли Фишером в 1978 году.
Определение
Пусть <math>S_1(t)</math> и <math>S_2(t)</math> — цены двух рискованных активов в момент <math>t</math>, каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный <math>q_i</math>. Опцион <math>C</math>, который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения <math>T</math>. Другими словами его выигрыш <math>C(T)</math> составит <math>\max(0, S_1(T) - S_2(T))</math>.
Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность <math>\sigma</math> их отношения <math>S_1/S_2</math> является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.
Если волатильности <math>S_i</math> равны <math>\sigma_i</math>, то <math> \textstyle\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1\sigma_2\rho}</math>, то <math>\rho</math> — коэффициент корреляции броуновских движений <math>S_i</math>.
Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:
- <math>e^{-q_1 T}S_1(0) N(d_1) - e^{-q_2 T}S_2(0) N(d_2)</math>
где через <math>N</math> обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,
<math>d_1 = \frac{\ln (S_1(0)/S_2(0)) + (q_2 - q_1 + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}</math>,
<math>d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}</math>.
Доказательство
Формула доказывается сведением к формуле Блэка — Шоулза:
- Во-первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах <math>S_2</math> (в таких случаях говорят, что <math>S_2</math> используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит <math>S_1/S_2</math> единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
- При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка <math>q_2</math> совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен <math>\max(0, S_1(T)/S_2(T) - 1)</math>.
- Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка <math>q_1</math> первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
- Применяя формулу Блэка — Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива <math>S_1(0)/S_2(0)</math>, процентная ставка <math>q_2</math>, волатильность <math>\sigma</math> и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
- Так как окончательная цена опциона выражена в единицах <math>S_2</math>, то умножение на <math>S_2(0)</math> переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.
См. также
Ссылки
Литература
- William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
- Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978
