Русская Википедия:Формула Муавра

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Формула Муавра для комплексного числа <math>z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> утверждает, чтоШаблон:Sfn:

<math>z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos n\varphi + i \sin n\varphi)</math>

для любого целого числа <math>n</math>.

Названа в честь английского математика Абрахама де Муавра, в трудах которого была приведена формула, эквивалентная приведённой (1707, далее 1722 и 1740 годы), в современной символике она опубликована ЭйлеромШаблон:Sfn.

Извлечение корней

Файл:Kreis5Teilung.svg

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числаШаблон:Sfn:

<math>z^{1/n} = \big[r\big(\cos(\varphi + 2\pi k) + i \sin(\varphi + 2\pi k)\big)\big]^{1/n} = r^{1/n} \left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right),</math>

где <math>k = 0,1,\dots,n-1</math>.

Из этой формулы следует, что корни <math>n</math>-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно <math>n</math>. На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса <math>\sqrt[n]{r}</math> с центром в нуле.

Связь с формулой Эйлера

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math>

однако немедленно следует из неё.

Для любого целого <math>n</math> верно

<math>(e^{ix})^n = e^{inx}.</math>

По формуле Эйлера левая часть равна <math>(\cos x + i\sin x)^n</math>, в то время как правая равна

<math>e^{inx} = \cos nx + i \sin nx.</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга