Формула Сантало́ — следствие теоремы Лиувилля о сохранении фазового объёма применяемая для интегрирования функций заданных на расслоении единичных сфер риманова многообразия.
А именно она даёт возможность сначала интегрировать по каждой геодезической отдельно, а затем по пространству всех геодезических.
Этот инструмент используется при доказательстве изопериметрических неравенств,[1] а также результатов жёсткости.[2]
Формула названа в честь Луиса Сантало, который доказал её в 1952 году.[3][4]
Формулировка
Пусть <math>(M,g)</math> — компактное, ориентированное риманово многообразие с краем <math>\partial M</math>.
Предположим, что длины геодезических в <math>M</math> ограничены, то есть любая геодезическая выходит на границу за определённое время.
Пусть <math> \varphi_t\colon SM\to SM</math> обозначает геодезический поток на расслоении единичных сфер <math> SM</math>.
Тогда
- <math>\
\int\limits_{v\in SM} f(v)\cdot \mu
=
\int\limits_{w\in S_+\partial M}
\left[ \int\limits_0^{\tau(w)} f(\varphi_t(w)) \cdot dt \right]\cdot \cos\theta(w)\cdot \sigma</math>
для любой интегрируемой функции <math>f</math> на <math> SM</math>.
При этом мы предполагаем, что
- <math> \theta(w) </math> — угол между <math> w </math> и направленной внутрь нормалью к <math>\partial M</math> в базовой точке вектора <math> w\in S_+\partial M</math> то есть вектора с базовой точкой на границе <math>\partial M</math> направленного внутрь <math>M</math>.
- <math> \mu </math> а также <math> \sigma </math> являются римановыми формами объема относительно метрики Сасаки на <math> SM </math> и <math> S_+\partial M </math>.
- <math>\tau(w)</math> обозначает время выхода геодезической с начальными условиями <math> w \in S_+\partial M </math>; то есть
- <math>\tau(w) = \sup\{t\ge 0: \forall s\in [0,t]:~ \varphi_s(x,v)\in SM \} </math>
См. также
Примечания
Шаблон:Примечания
Ссылки
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
- ↑ Croke, Christopher B. "A sharp four dimensional isoperimetric inequality." Commentarii Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
- ↑ Ilmavirta, Joonas, and François Monard. "4 Integral geometry on manifolds with boundary and applications." The Radon Transform: The First 100 Years and Beyond 22 (2019): 43.
- ↑ Santaló, Luis Antonio. Measure of sets of geodesics in a Riemannian space and applications to integral formulas in elliptic and hyperbolic spaces. 1952
- ↑ Santaló, Luis A. Integral geometry and geometric probability. Cambridge university press, 2004
