Файл:Stirling's Approximation.svg Отношение (ln n !) к (n ln n − n ) стремится к 1 с увеличением n
В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга ) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции . Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра , последний считается автором формулы[1] .
Наиболее используемый вариант формулы:
<math>\ln \Gamma(n + 1) = \ln n! = n \ln n - n + O(\ln n).</math>
Следующий член в <math>O(\ln n)</math> это <math>\frac{1}{2}\ln(2\pi n)</math>; таким образом более точная аппроксимация:
<math>\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1,</math>
что эквивалентно
<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Часто формулу Стирлинга записывают в виде
<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \frac{\theta_n}{12 n},</math>
где <math>0 < \theta_n < 1</math>, <math>n > 0</math>.
Более точную оценку даёт формула
<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \frac{1}{12 n + \theta_n},</math>
где <math>0 < \theta_n < 1</math>, <math>n > 0</math>.
В последней формуле максимальное значение <math>\theta_n</math> в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.
Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга , который при <math>n > 0</math> имеет вид
<math>\begin{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}} =\\
&= \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} - \frac{571}{2488320n^4} + \cdots\right) = \\
&= \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{(2^1)(6n)^1} + \frac{1}{(2^3)(6n)^2} - \frac{139}{(2^3)(2 \cdot 3 \cdot 5)(6n)^3} - {}\right. \\
&\qquad \left.{} - \frac{571}{(2^6)(2 \cdot 3 \cdot 5)(6n)^4} + \cdots\right),
\end{align}</math>
где <math>B_j</math> — числа Бернулли с номером <math>j</math>.
В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как ряд расходится при каждом фиксированном <math>n</math>, однако он является асимптотическим разложением факториала при <math>n\to\infty</math>.
Ссылки
Шаблон:Примечания
Шаблон:Вс
Шаблон:Math-stub
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное
Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
«Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
↑ Шаблон:Citation : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна <math>\sqrt{2\pi}</math>. Я считаю, что это не делает его автором теоремы».