Формула Фаульхабера — выражение для суммы <math>p</math>-х степеней первых <math>n</math> натуральных чисел:
- <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math>
как многочлена <math>(p+1)</math>-й степени с коэффициентами, содержащими числа Бернулли:
- <math>\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}</math>.
Названа в честь математика XVII века Иоганна Фаульхабера; также известна как формула Бернулли.
Формулы для первых шести степеней:
- <math>1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n}{2}</math> (треугольные числа)
- <math>1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}</math> (квадратные пирамидальные числа)
- <math>1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}</math> (квадраты треугольных чисел)
- <math>
\begin{align}
1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 & = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \\
& = \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30}
\end{align}
</math>
- <math>
\begin{align}
1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 & = \frac{[n(n+1)]^2(2n^2+2n-1)}{12} \\
& = \frac{2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2}{12}
\end{align}
</math>
- <math>
\begin{align}
1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 & = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42} \\
& = \frac{6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n}{42}
\end{align}
</math>
Ссылки
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|