Русская Википедия:Формула Фейнмана — Каца
Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Фейнмана и математика Марка Каца.
В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый метод Монте-Карло). И наоборот, математическое ожидание случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.
Формулировка в одномерном случае
Рассмотрим дифференциальное уравнение
- <math>\frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - V(x,t) u + f(x,t) = 0 \qquad (*)</math>
с неизвестной функцией <math>u=u(x,t)</math>, в котором <math>x \in \mathbb{R}</math> и <math>t \in [0,T]</math> — независимые переменные, <math>\mu, \sigma, V, f</math> — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием
- <math>u(x,T)=\psi(x), </math>
может быть выражено как условное математическое ожидание
- <math> u(x,t) = E^Q\left[ \int_t^T e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}f(X_s,s)ds + e^{-\int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) \ \bigg| \ X_t=x \right],</math>
где <math>Q</math> — вероятностная мера, такая что случайный процесс <math>X_t</math> является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением
- <math>dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \sigma(X_t,t)\,dW_t^Q,
\qquad (**) </math> в котором <math>W_t^Q</math> — винеровский процесс, с начальным условием
- <math>X_0=x</math>.
Многомерный вариант
Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная <math>x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math>.
В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид
- <math>\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \mu_i(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_i} + \tfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} - V(x,t) u + f(x,t) = 0
</math> и n-мерный случайный процесс <math>X_t</math> описывается стохастическим уравнением
- <math>dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \Sigma(X_t,t)\,dW_t^Q,</math>
в котором <math>\mu</math> — это вектор-столбец <math>(\mu_1,\ldots,\mu_n)</math>, <math>W_t^Q</math> — n-мерный винеровский процесс, <math>\Sigma = (\sigma_{ij})</math> — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей <math>\Gamma = (\gamma_{ij})</math> формулой
- <math>\Gamma = \Sigma \cdot \Sigma^*,</math>
звёздочка означает транспонирование.
См. также
- Стохастическое дифференциальное уравнение
- Формула Ито
- Уравнение Колмогорова — Чепмена
- Уравнение Фоккера — Планка
Литература
