Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.
Названа в честь Леонарда Эйлера, который доказал её в 1760 году.
Формулировка
Пусть <math>\Phi</math> есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве.
Пусть <math>p</math> — точка <math>\Phi,</math> <math>T_p</math> — касательная плоскость к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math> <math>n</math> — единичная нормаль к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math> а <math>\pi_e</math> — плоскость, проходящая через <math>n</math> и некоторый единичный вектор <math>e</math> в <math>T_p</math>.
Кривая <math>\gamma_e,</math> получающаяся как пересечение плоскости <math>\pi_e</math> с поверхностью <math>\Phi,</math> называется нормальным сечением поверхности <math>\Phi</math> в точке <math>p</math> в направлении <math>e.</math>
Величина
<math>\kappa_e=k\cdot n</math>
где <math>\cdot</math> обозначает скалярное произведение, а <math>k</math> — вектор кривизны <math>\gamma_e</math> в точке <math>p</math>, называется нормальной кривизной поверхности <math>\Phi</math> в направлении <math>e</math>.
С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой <math>\gamma_e</math>.
В касательной плоскости <math>T_p</math> существуют два перпендикулярных направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:
где <math>\alpha</math> — угол между этим направлением и <math>e_1</math>, a величины <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> нормальные кривизны в направлениях <math>e_1</math> и <math>e_2</math>, они называются главными кривизнами, а направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> — главными направлениями поверхности в точке <math>p</math>.
Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн.
Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.
