Русская Википедия:Формула монотонности

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

Формулировка

Предположим <math>M</math> есть <math>k</math>-мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и <math>p\in M</math>. Обозначим через <math>R</math> минимальное расстояние от <math>p</math> до границы <math>M</math>.

Тогда функция

<math>r\mapsto \frac{\mathrm{S}(M\cap B_r(p))}{r^m}</math>

монотонно возрастает в интервале <math>[0,R]</math>; здесь <math>\mathrm{S}</math> обозначает <math>k</math>-мерную площадь и <math>B_r(p)</math> — шар радиуса <math>r</math> с центром в <math>p</math>.

Следствия

• Для <math>M</math>, <math>p</math> и <math>R</math> как в формулировке выполняется неравенство

  <math>\mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge \omega_k\cdot r^m,</math>

при <math>r\le R</math>; здесь <math>\omega_k</math> обозначает объём единичного шара в <math>k</math>-мерном евклидовом пространстве.

• Более того, если <math>p</math> является точкой самопересечения то

<math>\mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge 2\cdot\omega_k\cdot r^m,</math>

при <math>r\le R</math>.

Применения

• Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
• Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.

Литература

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья