Русская Википедия:Формула полной вероятности

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, и полная группа попарно несовместных событий <math>\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}</math>, таких что

1. <math>\forall i \; \mathbb{P} \; (B_i) > 0 ; </math>
2. <math>\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing ; </math>
3. <math>\bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega . </math>

Пусть <math>A \in \mathcal{F}</math> — интересующее нас событие. Тогда получим:

<math>\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)</math>.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть <math>N</math> — случайная величина, имеющая распределение

<math>\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)</math>.

Тогда

<math>\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]</math>,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Условное математическое ожидание
• Теорема Байеса