Русская Википедия:Формула произведения корангов

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.

Формулировка

Корангом линейного отображения <math>A: \mathbb R^m \to \mathbb R^n</math> в прообразе (в образе) называется число <math>m-r</math> (соответственно, <math>n-r</math>), где <math>r</math> — ранг отображения <math>A</math>. Коранги связаны с размерностью ядра <math>A</math> (обозначим её <math>i</math>) формулами: <math>m-r=i</math> и <math>n-r = n-m+i</math>.

Пусть <math>f: M^m \to N^n</math> — гладкое отображение гладких многообразий <math>M^m</math> и <math>N^n</math> размерностей <math>m</math> и <math>n</math>, соответственно. Символом <math>f_{*x}</math> обозначается его производная в точке <math>x \in M^m</math>, то есть линейное отображение касательных пространств <math>f_{*x}: T_{x}M^m \to T_{f(x)}N^n</math>.

Точка <math>x \in M^m</math> принадлежит множеству <math>\Sigma^i,</math> <math>i \ge 0,</math> если размерность ядра производной <math>f_{*x}</math> в этой точке равна <math>i</math>. Множества <math>\Sigma^0, \ldots, \Sigma^m</math> заведомо покрывают всё многообразие <math>M^m</math>, однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае <math>n>m</math> имеет место неравенство <math>r \le n<m</math>, из которого с учетом соотношения <math>m-r=i</math> следует, что <math>i>0</math>, то есть множество <math>\Sigma^0</math> пусто).

Шаблон:Рамка Теорема. Для отображения <math>f: M^m \to N^n</math> общего положения все множества <math>\Sigma^i</math> являются гладкими подмногообразиями в <math>M^m</math>. При этом имеет место соотношение

<math>m - \dim \, \Sigma^i = (m-r)(n-r),</math>

где <math>r=m-i</math> — ранг отображения <math>f_{*x},</math> называемое формулой произведения корангов. Шаблон:Конец рамки

Вычисленное по этой формуле значение <math>\dim \Sigma^i</math> может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество <math>\Sigma^i</math> пусто.

Следствие. В пространстве матриц типа <math>(m, n)</math> множество матриц ранга <math>r</math> образует гладкое многообразие коразмерности <math>(m-r)(n-r)</math>.

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.