Русская Википедия:Формула трубки
Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма <math>r</math>-окрестности подмногообразия как многочлен от <math>r</math>. Предложена Германом Вейлем.
Формулировка
Пусть <math>M</math> замкнутое <math>m</math>-мерное подмногообразие в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве, соответственно <math>k=n-m</math> есть коразмерность <math>M</math>.
Обозначим через <math>M_r</math> <math>r</math>-окрестность <math>M</math>. Тогда для всех достаточно малых положительных значений <math>r</math> выполняется равенство
- <math>V(M_r)=\omega_{k}\cdot r^{k}\cdot\sum_{m\ge 2\cdot i\ge 0}V_i(M)\cdot \frac{r^{2\cdot i}}{k\cdot(k+2)\cdots(k+2\cdot i)},</math>
где <math>V(M_r)</math> — объём <math>M_r</math>, <math>\omega_k</math> — объём единичного шара в <math>k</math>-мерном евклидовом пространстве. и
- <math>V_i(M)=\int\limits_M p_i(\mathrm{Rm})</math>
для некоторого однородного многочлена <math>p_i</math> степени <math>i</math>; здесь <math>\mathrm{Rm}</math> обозначает тензор кривизны.
Выражение <math>p_i(\mathrm{Rm})</math> — это так называемая кривизна Липшица — Киллинга, она пропоциональна среднему пфафиану тензора кривизны по всем <math>(2\cdot i)</math>-мерным подпространствам касательного пространства.
Замечания
- Младший ненулевой коэффициент <math>V_0(M)</math> есть <math>m</math>-мерный объём <math>M</math>.
- Если размерность <math>M</math> чётна, <math>m=2\cdot k</math>, то
- <math>V_k=\chi(M),</math>
- где <math>\chi(M),</math> — эйлерова характеристика <math>M</math>.
Следствия
- Объём <math>r</math>-окрестности <math>\gamma_r</math> простой замкнутой гладкой кривой <math>\gamma</math> в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве при малых <math>r</math> выражается формулаой
- <math>V(\gamma_r)=L(\gamma)\cdot r^{n-1},</math>
- где <math>L(\gamma)</math> обозначает длину <math>\gamma</math>.
- Для гладких замкнутой поверхности <math>M</math> в 3-мерном евклидовом пространстве выполняется равенство
- <math>V(M_r)=S(M)\cdot r+\tfrac23\cdot \pi\cdot \chi(M)\cdot r^3.</math>
- Если два подмногообразия евкидова пространства изометричны, то объёмы их <math>r</math>-окрестностей совпадают для всех малых положительных <math>r</math>.
Вариации и обобщения
- Формула полутрубки для гиперповерхностей выражает объём односторонней <math>r</math>-окрестности <math>M_r^+</math>, она также является многочленом от <math>r</math>, но не все коэффициенты зависят от внутренней кривизны. В частности для поверхностей в трёхмерном пространстве формула полутрубки принимает вид
- <math>V(M_r^+)=S(M)\cdot r+\biggl[\int\limits_M H\biggr]\cdot r^2+\tfrac23\cdot \pi\cdot \chi(M)\cdot r^3,</math>
- где <math>H</math> обозначает среднюю кривизну.
См. также
Литература
- Шаблон:Статья
- Simon Willerton, Intrinsic Volumes and Weyl’s Tube Formula
