Русская Википедия:Формулы Виета
Шаблон:О Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.[1]Шаблон:Rp
Формулировка
Если <math>c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}</math> — корни многочлена
- <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \ldots + a_n</math>
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты <math>a_1, \ldots, a_n</math> выражаются в виде симметрических многочленов от корнейШаблон:Sfn, а именно:
- <math display="inline">\begin{align}
a_1 &= -(c_1 + c_2 + \ldots + c_n), \\
a_2 &= c_1 c_2 + c_1 c_3 + \ldots + c_1 c_n + c_2 c_3 + \ldots + c_{n-1} c_n, \\
a_3 &= -(c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \ldots + c_{n-2} c_{n-1} c_{n}), \\
&~~\vdots \\
a_{n-1} &= (-1)^{n-1} (c_1 c_2 \ldots c_{n-1} + c_1 c_2 \ldots c_{n-2} c_n + \ldots + c_2 c_3...c_n), \\
a_n &= (-1)^n c_1 c_2 \ldots c_n.
\end{align}</math>
Иначе говоря, <math>(-1)^k a_k</math> равно сумме всех возможных произведений из <math>k</math> корней.
Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.
Если старший коэффициент многочлена не равен единице:
- <math>a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \ldots + a_n,</math>
то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на <math>a_0</math> (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:
- <math>\frac{a_k}{a_0} = (-1)^k\sum_{1\leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k\leqslant n} c_{i_1}c_{i_2}\dots c_{i_k}, \quad k = 1, 2, \dots, n.</math>
Доказательство
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что <math>a_0 = 1</math>
- <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \ldots + a_n = (x - c_1)(x - c_2) \cdots (x - c_n).</math>
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях <math>x</math>, получаем формулы Виета.
Примеры
Квадратное уравнение
Если <math>x_1</math> и <math>x_2</math> — корни квадратного уравнения <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, то
- <math>\begin{cases}
x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \\
x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}.
\end{cases}</math>
В частном случае, если <math>a = 1</math> (приведённая форма <math>x^2 + px + q = 0</math>), то
- <math>\begin{cases}
x_1 + x_2 = -p, \\ x_1 x_2 = q.
\end{cases}</math>
Кубическое уравнение
Если <math>x_1, x_2, x_3</math> — корни кубического уравнения <math> p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 </math>, то
- <math>\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\\x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \dfrac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{d}{a}\end{cases}</math>
Вариации и обобщения
Из приведённого выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности <math>\mathbb K</math>, если старший коэффициент многочлена равен единице <math>\mathbb K,</math> а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для <math>\mathbb K.</math>
Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве <math>\mathbb K</math> кольцо вычетов по модулю 8 и многочлен <math>P(x) = x^2 - 1.</math> Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня: <math>1, 3, 5, 7.</math> Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Weisstein, Eric W. Vieta’s Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web ResourceШаблон:Ref-en
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Viète theorem»Шаблон:Недоступная ссылка, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4Шаблон:Ref-en
- Funkhouser, H. Gray (1930), «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357—365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273Шаблон:Ref-en
