Русская Википедия:Формулы сокращённого умножения многочленов
Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.
Формулы для квадратов
- <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> — квадрат суммы двух выражений
- <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math> — квадрат разности двух выражений
- <math>\left( a + b + c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc</math> — квадрат суммы трёх выражений
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле[1]:
- <math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</math>
Доказательство
Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:
- <math>(a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2</math>
Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:
- <math>ba - ab = 0</math>
и остаётся
- <math>(a+b)(a-b) = a^2-b^2</math>
Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.
Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.
Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:
- <math>a^2 + ba - ab - b^2</math>.
Чтобы это было равно <math>a^2 - b^2</math>, мы должны иметь
- <math>ba - ab = 0</math>
для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.
Формулы для кубов
- <math>(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3</math> - куб суммы (разности) двух чисел
- <math>a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)</math> - сумма (разность) кубов
- <math>\left( a + b + c \right)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc</math> - куб суммы
Формулы для четвёртой степени
- <math>(a\pm b)^4=a^4\pm 4a^3b+6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4</math>
- <math>a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)</math> (выводится из <math>a^2-b^2</math>)
- <math>a^4+b^4=(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)</math>
Формулы для n-й степени
- <math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})</math>, где <math>n \in N</math>
- <math>a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-...+a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})</math>, где <math>n</math> - нечётное число
В комплексных числах
- <math>a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)</math>
- <math>a^3\pm b^3=\left (a\pm b \right ) \left (a+\frac{\mp 1+\sqrt{3}i}{2}b \right ) \left (a+\frac{\mp 1-\sqrt{3}i}{2}b\right )</math>
- <math>a^4-b^4=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)</math>
- <math>a^4+b^4=\left (a+\frac{1+i}{\sqrt{2}}b\right ) \left (a+\frac{-1+i}{\sqrt{2}}b\right ) \left (a+\frac{-1-i}{\sqrt{2}}b\right ) \left (a+\frac{1-i}{\sqrt{2}}b\right )</math>
Для произвольной чётной степени:
- <math>a^n \pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\mp 1}b)</math>, где <math>\sqrt[n]{\mp 1}</math> пробегает все n возможных значений
Для произвольной нечётной степени:
- <math>a^n \pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\pm 1}b)</math>, где <math>\sqrt[n]{\pm 1}</math> пробегает все n возможных значений
Некоторые свойства формул
- <math>(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}</math>, где <math>n \in N</math>
- <math>(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}</math>, где <math>n \in N</math>
См. также
Примечания
Литература
