Русская Википедия:Французская железнодорожная метрика

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:French railway network 1856.svg
Основные железнодорожные магистрали Франции в 1856 году сходились в Париже

Французская железнодорожная метрика является необычным примером метрики.

Название этой метрики произошло из-за очень централизованно проложенной (особенно раньше) железнодорожной сети Франции, в которой чуть ли не все пути сходились в Париже.

Последствия этого были таковы, что, например, чтобы добраться по железной дороге из Страсбурга в Лион, нужно сделать крюк в 400 км через Париж — приходилось мириться с тем, что нет прямого сообщения.

Это побудило одного неизвестного математика определить следующую метрику: если <math>X</math> есть некоторое множество точек плоскости (города Франции с железнодорожным сообщением через Париж) и <math>p</math> — фиксированная выбранная точка (Париж), то можно определить на <math>X</math> метрику <math>\rho\colon X\times X\to\mathbb{R}</math> следующим образом:

<math>\rho(x,y)=\left.\begin{cases}\|x-y\|, & x - p = \lambda (y - p) \\\|x-p\|+\|y-p\|, & x - p\neq\lambda (y-p)\end{cases}

\right.,\quad x,y\in X, \lambda\in\R.</math>

Здесь <math>\rho(x,y)</math> следует понимать как расстояние по железнодорожному пути от города <math>x</math> до города <math>y</math>.

Эта конструкция допускает элементарное обобщение на любое нормированное пространство.

Свойства

В невырожденном случае, то есть когда существуют неколлинеарные векторы, французская железнодорожная метрика — простейший пример метрики, которая не порождается нормой.

Действительно, предположим противное. Пусть такая норма существует. Возьмём два неколлинеарных вектора <math>a</math> и <math>b</math>, для которых <math>\left|a\right| \leqslant \left|b\right|</math>. Тогда векторы <math>a+b</math> и <math>b</math> также неколлинеарны, и выполняется

<math>\rho(p+a, \, p) \leqslant \rho(p, \, p+b) < \rho(p+a+b, \, p+b)</math>.

Для метрики <math>d</math>, порожденной нормой, это неравенство нарушается:

<math>d(p+a, p)=|p+a-p|=|a| \le d(p, p+b)=|p-p-b|=|-b|=|b| < d(p+a+b,p+b)=|p+a+b-p-b|=|a|.</math>

Следовательно, не существует нормы <math>| \cdot |</math>, порождающей французскую железнодорожную метрику в том смысле, что <math>\rho(x, \, y) = |x-y|.</math>

Названия при p = 0

Для нормы <math>\| \cdot \|</math> на <math>\mathbb{R}^2</math> метрикой французского метро называется метрика на <math>\mathbb{R}^2</math>, определённая как[1][2]:

<math>\rho(x,y)=\left.\begin{cases}\|x-y\|, & x = \lambda y \\\|x\|+\|y\|, & x \neq\lambda y\end{cases}

\right.,\quad x,y\in X, \lambda\in\R.</math>

Иными словами, метрика французского метро определена как длина кратчайшего пути из точки x в точку y, если x, y и начало координат находятся на одной прямой, и длина кратчайшего пути из x в y, проходящего через начало координат, в противном случае.

Метрика французского метро совпадает с французской железнодорожной метрикой в частном случае, когда Париж находится в начале координат (p = 0).

Для евклидовой нормы <math>\| \cdot \|_2</math> метрика французского метро называется также парижской метрикой, метрикой ежа, радиальной метрикой или усиленной метрикой SNCF[1][2][3].

Метрика британской железной дороги

Для нормы <math>\| \cdot \|</math> на <math>\mathbb{R}^2</math> (в общем случае на <math>\mathbb{R}^n</math>) метрикой британской железной дороги называется метрика на <math>\mathbb{R}^2</math> (на <math>\mathbb{R}^n</math>), определённая как

<math>\|x\| + \|y\|,</math>

если <math>x \ne y</math>, и как 0 в противном случае. Её называют также метрикой почты (Шаблон:Lang-en), метрикой гусеницы и метрикой челнока[1][2].

Иными словами, в соответствии с метрикой британской железной дороги приходится делать крюк через начало координат всегда, если только пункт отправления не совпадает с пунктом назначения.

В Великобритании метрикой британской железной дороги (Шаблон:Lang-en) иногда называют метрику французского метро[4].

Примеры

p x y ФЖДМ[5] МФМ[6] МБЖД[7]
<math>(0;0)</math> <math>(0; 3)</math> <math>(6; 5)</math> <math>3+\sqrt{61}</math> <math>3+\sqrt{61}</math> <math>3+\sqrt{61}</math>
<math>(0;3)</math> <math>(0;6)</math> <math>3</math> <math>3</math> <math>\sqrt{45}</math>
<math>(-3;2)</math> <math>(0;3)</math> <math>(0;6)</math> <math>\sqrt{10}+5</math> <math>3</math> <math>\sqrt{45}</math>
<math>(0; 3)</math> <math>(6; 5)</math> <math>\sqrt{40}</math> <math>3+\sqrt{61}</math> <math>3+\sqrt{61}</math>
<math>(5;12)</math> <math>(12;5)</math> <math>\sqrt{164}+\sqrt{234}</math> <math>26</math> <math>26</math>
<math>(5;12)</math> <math>(5;12)</math> <math>0</math> <math>0</math> <math>0</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок deza не указан текст
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок deza2009 не указан текст
  3. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок mw_fmm не указан текст
  4. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок m125a не указан текст
  5. ↑ Французская железнодорожная метрика.
  6. ↑ Метрика французского метро.
  7. ↑ Метрика британской железной дороги (не по тому определению, которое используется в Великобритании).
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Французская_железнодорожная_метрика&oldid=11205400