Русская Википедия:Фредгольмов оператор
Шаблон:Проверить факты Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор <math>T: X \to Y</math> называют фредгольмовым, если
- <math>\mathrm{dim} \, \ker T < \infty</math>,
- <math>\mathrm{dim}\;\mathrm{coker}\,T < \infty</math>.
Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.
Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.
Следует также отметить, что в силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.
Индекс фредгольмова оператора
Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:
- <math>\mathrm{ind} \, T = \mathrm{dim} \,\ker T - \mathrm{dim} \; \mathrm{coker}\,T</math>
Более того, для каждого конкретно заданного <math>n\in\mathbb{Z}</math> существует фредгольмов оператор с индексом n.
Преобразования фредгольмовых операторов
- Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов: <math>T\in\mathcal{N}(X,\;Y) \Leftrightarrow T^{'}\in\mathcal{N}(Y^{'},\;X^{'})</math>. Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов: <math>\mathrm{ind} \, T^{'} = -\mathrm{ind} \, T</math>
- Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть <math>\mathrm{ind} \, TS = \mathrm{ind} \, T + \mathrm{ind} \, S</math> (теорема Аткинсона)
- Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора: <math>T\in\mathcal{N}(X,\;Y),\;S\in\mathcal{K}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in\mathcal{N}(X,\;Y) , \; \mathrm{ind} \, (T+S) = \mathrm{ind} \, T</math>
- Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть <math>\forall T\in\mathcal{N}(X,\;Y) \; \exists \varepsilon : \, \forall S\in\mathcal{B}(X,\;Y), \|S\| \leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in\mathcal{N}(X,\;Y) , \; \mathrm{ind} \, (T+S) = \mathrm{ind} \, T</math>. Иначе говоря, множество <math>\mathcal{N}(X,\;Y)</math> является открытым в множестве <math>\mathcal{B}(X,\;Y)</math> ограниченных операторов.
Теорема Фредгольма
- <math>K\in\mathcal{K}(X,\;X) \Rightarrow (\mathrm{I_X}-K) </math> — фредгольмов (здесь <math>\mathrm{I_X}</math> — тождественный оператор на X).
Критерии фредгольмовости
- Критерий Нётера: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
- Критерий Никольского: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: <math>\mathcal{N}(X,\;Y) = \mathrm{Inv}(X,\;Y)\,+\,\mathcal{K}(X,\;Y)</math>, где <math>\mathrm{Inv}(X,\;Y)</math> — множество обратимых линейных операторов.
Литература
