Русская Википедия:Фуксова модель
Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.
Более точное определение
По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, Шаблон:Не переведено 5, либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность <math>R</math>, которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости <math>\mathbb H</math> по подгруппе <math>\Gamma</math>, действующей вполне разрывно и свободно.
В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа Шаблон:Не переведено 5 является группой <math>\mathrm{PSL}_2(\mathbb R)</math>, действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения <math>\Gamma \subset \mathrm{PSL}_2(\mathbb R)</math>, такая, что риманова поверхность <math>\Gamma \backslash \mathbb H</math> изоморфна <math>R</math>. Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм <math>R \cong \Gamma \backslash \mathbb H</math> называется фуксовой моделью для <math>R</math>.
Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера
Пусть <math>R</math> будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть <math>\Gamma</math> будет фуксовой группой, такой, что <math>\Gamma \backslash \mathbb H</math> является фуксовой моделью для <math>R</math>. Пусть
- <math>A(\Gamma)=\{ \rho \colon \Gamma \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \}</math>.
Здесь <math>A(\Gamma)</math> — множество всех <math>\rho</math> эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»)Шаблон:Sfn. В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа <math>\Gamma</math> является Шаблон:Не переведено 5, так как она изоморфна фундаментальной группе <math>R</math>. Пусть <math>g_1, \ldots, g_r</math> будет порождающим множеством, тогда любое <math>\rho \in A(\Gamma)</math> определяется элементами <math>\rho(g_1), \ldots, \rho(g_r)</math> и мы можем отождествить <math>A(G)</math> с подмножеством <math>\mathrm{PSL}_2(\mathbb R)^r</math> отображением <math>\rho \mapsto (\rho(g_1), \ldots, \rho(g_r))</math>. Тем самым мы задаём топологию подпространства.
Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующееШаблон:Sfn:
- Для любого представления <math>\rho\in A(G)</math> существует автогомеоморфизм (фактически, Шаблон:Не переведено 5) <math>h</math> верхней полуплоскости <math>\mathbb H</math>, такое, что <math>h \circ \gamma \circ h^{-1} = \rho(\gamma)</math> для любого <math>\gamma \in G</math>.
Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм <math>R \to \rho(\Gamma) \backslash \mathbb H</math> и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку <math>R</math> компактно.
Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера <math>R</math>Шаблон:Sfn — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы <math>\pi_1(R)</math>[1] в классы смежности <math>\mathrm{PSL}_2(\mathbb R)</math> и множества помеченных римановых поверхностей <math>(X, f)</math>, где <math>f\colon R \to X</math> является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.
См. также
- Шаблон:Не переведено 5, аналогичное построение для 3D-многообразий
- Шаблон:Не переведено 5
Примечания
Литература
- ↑ Множество гомотопических классов петель с произведением петель из точки <math>x_0</math> пространства <math>X</math> называется фундаментальной группой с отмеченной точкой <math>x_0</math> и обозначается <math>\pi_1(X,x_0)</math>. Если <math>X</math> — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки и для таких пространств можно писать <math>\pi_1(X)</math> вместо <math>\pi_1(X,x_0)</math>. См. Фундаментальная группа
