Русская Википедия:Фундаментальная группа

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать ("стянуть") некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства <math>X</math> обычно обозначается <math>\pi_1(X,x_0)</math> или <math>\pi_1(X)</math>, последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как <math>\pi_1(X)=0</math>, хотя обозначение <math>\pi_1(X)=\{1\}</math> более уместно.

Определение

Пусть <math>X</math> — топологическое пространство с отмеченной точкой <math>x_0\in X</math>. Рассмотрим множество петель в <math>X</math> из <math>x_0</math>; то есть множество непрерывных отображений <math>f\colon [0,1] \to X</math>, таких что <math>f(0) = x_0 = f(1)</math>. Две петли <math>f</math> и <math>g</math> считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия <math>f_t</math>, удовлетворяющая свойству <math>f_t(0) = x_0 = f_t(1)</math>. Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются <math>[f]</math>) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

<math>(f*g)(t) = \begin{cases}

f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\ g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1] \end{cases} </math>

Произведением двух гомотопических классов <math>[f]</math> и <math>[g]</math> называется гомотопический класс <math>[f*g]</math> произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства <math>X</math> с отмеченной точкой <math>x_0</math> и обозначается <math>\pi_1(X,x_0)</math>.

Комментарии

  • Про <math>(X,x_0)</math> можно думать как о паре пространств <math>(X,\{x_0\})</math>.
  • Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
  • Если <math>X</math> — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать <math>\pi_1(X)</math> вместо <math>\pi_1(X,x_0)</math> не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек <math>x, y \in X</math> канонический изоморфизм между <math>\pi_1(X, x)</math> и <math>\pi_1(X, y)</math> существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

  • Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств <math>\varphi: (X, x_0) \to (Y, \varphi(x_0))</math> индуцирует гомоморфизм <math>\varphi_* = \pi_1 \varphi: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0))</math>, определяемый формулой <math>\varphi_*[f] = [\varphi f]</math>. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор <math>\pi_1: \mathbf{hTop} \to \mathbf{Grp}</math>.

Примеры

  • В <math>\R^n</math> есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, <math>\pi_1(\mathbb{R}^n) = 0</math>. То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества <math>\mathbb{R}^n</math>.
  • В окружности <math>\mathbb S^1</math>, каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>.
  • Фундаментальная группа <math>n</math>-мерной сферы <math>\mathbb S^n</math> тривиальна при всех <math>n\ge 2</math>.
  • Фундаментальная группа плоскости <math>\R^2</math> c <math>n</math> выколотыми точками — свободная группа с <math>n</math> порождающими.
  • Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода <math>g</math> может быть задана образующими <math>a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g</math> с единственным соотношением: <math>a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1</math>.

Свойства

  • Если <math>A</math> — ретракт <math>X</math>, содержащий отмеченную точку <math>x_0</math>, то гомоморфизм <math>i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0)</math>, индуцированный вложением <math>i: A \hookrightarrow X</math>, инъективен.
    • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности <math>X</math>, содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего <math>X</math>.
    • Если <math>A</math> — строгий деформационный ретракт <math>X</math>, то <math>i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0)</math> является изоморфизмом.
  • <math>\pi_1</math> сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками <math>(X,x_0)</math> и <math>(Y,y_0)</math> существует изоморфизм
    <math>\pi_1(X\times Y,(x_0,y_0)) \cong \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0),</math>
естественный по <math>(X, x_0)</math> и <math>(Y, y_0)</math>.
  • Теорема ван Кампена: Если <math>X</math> — объединение линейно связных открытых множеств <math>A_\alpha</math>, каждое из которых содержит отмеченную точку <math>x_0 \in X</math>, и если каждое пересечение <math>A_\alpha \cap A_\beta</math> линейно связно, то гомоморфизм <math>\Phi: \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X)</math>, индуцированный вложениями <math>A_\alpha \hookrightarrow X</math>, сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение <math>A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma</math> линейно связно, то ядро гомоморфизма <math>\Phi</math> — это наименьшая нормальная подгруппа <math>N</math>, содержащая все элементы вида <math>i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha}(\omega)^{-1}</math> (где <math>i_{\alpha \beta}</math> индуцирован вложением <math>A_\alpha \cap A_\beta \hookrightarrow A_\alpha</math>), а потому <math>\Phi</math> индуцирует изоморфизм <math>\pi_1(x) \cong \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha)/N</math> (первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
    • <math>\pi_1</math> сохраняет копроизведения: <math>\pi_1(\bigvee_\alpha X_\alpha) \cong \ast_\alpha \pi_1(X_\alpha) </math> естественно по всем <math>X_\alpha</math>.
    • (случай двух <math>A_\alpha</math>): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что <math>\pi_1(A_1 \cup A_2) \cong \pi_1(A_1) \mathbin{\ast_{\pi(A_1 \cap A_2)}} \pi_1(A_2)</math>, что является ограниченной (случаем линейно связного <math>A_1 \cap A_2</math>) формой сохранения толчков.
  • Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.
  • Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).

Вариации и обобщения

  • Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
  • Шаблон:Iw пространства <math>X</math> называют группоид <math>\Pi(X)</math>, объектами которого являются точки <math>X</math>, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом <math>\pi_1(X, x_0) \cong \operatorname{Aut}_{\Pi(X)}x_0</math>, и если <math>X</math> линейно связно, то вложение <math>\pi_1(X, x_0) \hookrightarrow \Pi(X)</math> является эквивалентностью категорий.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Фундаментальная_группа&oldid=11214028