Русская Википедия:Фундаментальное решение
Шаблон:О Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора Шаблон:Mvar или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.
Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора Шаблон:Mvar называется решение Шаблон:Mvar (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения
где правая часть Шаблон:Math — дельта-функция Дирака[1].
Исторически понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.
Свойства
- Фундаментальное решение оператора Шаблон:Mvar, вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого Шаблон:Mvar, принадлежащего ядру оператора Шаблон:Mvar: пусть Шаблон:Mvar — решение уравнения Шаблон:Math тогда Шаблон:Mvar также является его решением, если Шаблон:Math[1].
- Решение неоднородного уравнения Шаблон:Math с произвольной правой частью Шаблон:Mvar выражается через фундаментальное решение оператора Шаблон:Mvar с помощью свёртки по формуле Шаблон:Math. Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с Шаблон:Mvar[1].
- Функция Шаблон:Mvar является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами
- <math>L(\partial) = \sum_{|k|=0}^{m}a_k \partial_{x_1}^{k_1} \cdots \partial_{x_n}^{k_n},
\quad k = (k_1, \ldots, k_n),</math>
- если и только если её преобразование Фурье <math>\widehat F</math> удовлетворяет равенству <math>L(-i\xi) \, \widehat F (\xi) = 1,</math> где
- <math>L(\xi) = \sum_{|k|=0}^{m}a_k \xi_1^{k_1} \cdots \xi_n^{k_n},
\quad \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n),</math>
- i — мнимая единица[1].
Примеры
- Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами[1], где <math>|x|^2 = x_1^2 + \cdots+ x_n^2</math> — стандартный скалярный квадрат вектора <math>x \in \mathbb{R}^n</math>:
- <math> F_{2}(x)= \frac{1}{2\pi}\ln|x|, \quad F_{3}(x)= -\frac{1}{4\pi|x|},
\quad F_{n}(x)= -\frac{1}{(n-2)s_n |x|^{n-2}}, \ \ n \ge 3,</math>
- где <math>s_n</math> означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве.
- Фундаментальное решение уравнения теплопроводности имеет вид:
- <math>
\Phi(x,t) = \frac{\theta(t)}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \exp \biggl( \! -\frac{|x|^2}{4a^2 t} \, \biggr), \ \ \ x \in \mathbb{R}^n, </math>
- где <math>\theta(t)</math> — функция Хевисайда.
- Фундаментальное решение бигармонического уравнения, то есть оператора <math>L=\Delta^2,</math> имеет вид
- <math> F_{2}(x) = -\frac{|x|^2}{8\pi}(\ln|x| - 1), \quad
F_{3}(x) = \frac{|x|}{8\pi} ~.</math>
Примечания
Литература
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985.
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.
