Русская Википедия:Функтор обратного образа
Функтор обратного образа — это ковариантная конструкция пучков. Функтор прямого образа является первичной операцией на пучках, с простым определением. Обратный образ обладает более тонкими свойствами.
Определение
Пусть нам дан пучок <math>\mathcal{G}</math> на <math>Y</math> и мы хотим перенести <math>\mathcal{G}</math> на <math>X</math>, используя непрерывное отображение <math>f\colon X\to Y</math>.
Мы будем называть результат обратным образом <math>f^{-1}\mathcal{G}</math>. Если мы попытаемся имитировать определение прямого образа и положим
- <math>f^{-1}\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(f(U)),</math>
для каждого открытого множества <math>U</math> в <math>X</math>, мы немедленно столкнёмся с проблемой: <math>f(U)</math> не обязательно открыто. Лучшее, что мы можем сделать — это приблизить его открытыми множествами, и даже в этом случае мы получим предпучок, а не пучок. Таким образом, мы определяем <math>f^{-1}\mathcal{G}</math> как пучок, ассоциированный с предпучком
- <math>U \mapsto \varinjlim_{V\supseteq f(U)}\mathcal{G}(V).</math>
(Здесь <math>U</math> — открытое подмножество <math>X</math> и копредел берётся по всем открытым подмножествам <math>V</math> пространства <math>Y</math>, сожержащим <math>f(U)</math>.)
Например, если <math>f</math> — это просто вложение точки <math>y</math> в <math>Y</math>, то <math>f^{-1}(\mathcal{F})</math> — это слой пучка <math>\mathcal{F}</math> в этой точке.
Существование отображений ограничения, как и функториальность обратного образа, следуют из универсального свойства прямых пределов.
Когда рассматриваются морфизмы локально окольцованных пространств <math>f\colon X\to Y</math>, например схем в алгебраической геометрии, часто работают с пучками <math>\mathcal{O}_Y</math>-модулей, где <math>\mathcal{O}_Y</math> — структурный пучок <math>Y</math>. Тогда функтор <math>f^{-1}</math> не подходит, так как результат его применения, вообще говоря, не является пучком <math>\mathcal{O}_X</math>-модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации для пучка <math>\mathcal O_Y</math>-модулей <math>\mathcal G</math> его обратный образ определяется по правилу
- <math>f^*\mathcal G := f^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X</math>.
Свойства
- Хотя <math>f^{-1}</math> определяется сложнее, чем <math>f_{\ast}</math>, его слои вычисляются проще: для точки <math>x \in X</math>, имеем <math>(f^{-1}\mathcal{G})_x \cong \mathcal{G}_{f(x)}</math>.
- <math>f^{-1}</math> — точный функтор, как видно из приведённого выше вычисления слоёв.
- <math>f^*</math>, вообще говоря, только точен справа. Если <math>f^*</math> точен, f называется плоским.
- <math>f^{-1}</math> сопряжён слева к функтору прямого образа <math>f_{\ast}</math>, то есть существует естественный изоморфизм
- <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf {Sh}(X)}(f^{-1} \mathcal G, \mathcal F ) = \mathrm{Hom}_{\mathbf {Sh}(Y)}(\mathcal G, f_*\mathcal F)</math>.
Литература
- Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.
