Русская Википедия:Функтор (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании Шаблон:Iw.

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа КарнапаШаблон:Sfn, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию.

Определение

Файл:Functor.svg

Функтор <math>F</math> должен сохранять композицию морфизмов <math>\tau</math> и <math>\sigma</math>

Шаблон:Видимый якорь <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> из категории <math>\mathcal{C}</math> в категорию <math>\mathcal{D}</math> — это отображение, которое:

• сопоставляет каждому объекту <math>X\in\mathcal{C}</math> объект <math>\mathcal{F}(X)\in\mathcal{D},</math>
• сопоставляет каждому морфизму <math>f:X\to Y</math> в категории <math>\mathcal{C}</math> морфизм <math>\mathcal{F}(f): \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(Y)</math> в категории <math>\mathcal{D}</math>. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
  • <math>\mathcal{F}(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{\mathcal{F}(A)}</math>,
  • <math>\mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(g)\circ \mathcal{F}(f)</math>.

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, Шаблон:Видимый якорь — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму <math>f:X\to Y</math> морфизм <math>\mathcal{F}(f): \mathcal{F}(Y) \to \mathcal{F}(X)</math>), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:

<math>\mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(f)\circ \mathcal{F}(g)</math>.

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории <math>\mathcal{C}^\mathrm{op}</math>. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из <math>\mathcal{C}</math> в <math>\mathcal{D}</math>» говорят «функтор из <math>\mathcal{C}^\mathrm{op}</math> в <math>\mathcal{D}</math>» (или, иногда, «функтор из <math>\mathcal{C}</math> в <math>\mathcal{D}^\mathrm{op}</math>»).

Бифункторы и мультифункторы

Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор <math>\mathrm{Hom}</math> имеет вид <math>\mathcal C^\mathrm{op} \times \mathcal C \to \mathbf{Set}</math>.

Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на <math>n</math> переменных.

Примеры

Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

• Пусть <math>\mathcal{C}</math> — подкатегория в категории <math>\mathcal{D}</math>. В таком случае определён функтор вложения <math>I: \mathcal{C} \hookrightarrow \mathcal{D}</math>, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
• Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории <math>\mathcal{C}</math> в фиксированный объект категории <math>\mathcal{D}</math>, а каждый морфизм <math>\mathcal{C}</math> — в тождественный морфизм этого объекта.
• Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
• Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространству двойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
• Пусть <math>\mathcal{C}</math> — конкретная категория, то есть категория, снабженная унивалентным функтором в категорию множеств (частный случай забывающего функтора). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: категории групп, категория колец, категория множеств). Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: свободный модуль).
• Предпучки: пусть <math>X</math> — топологическое пространство, тогда открытые подмножества <math>X</math> образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое <math>O(X)</math>. Как и любому частично упорядоченному множеству, <math>O(X)</math> можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм <math>U \to V</math> тогда и только тогда, когда <math>U\subseteq V</math>. Контравариантные функторы из <math>O(X)</math> называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
• Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству <math>X</math> с отмеченной точкой <math>x_0</math> можно сопоставить фундаментальную группу <math>\pi_1(X, x_0)</math>, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если <math>f: X \to (Y)</math> — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки <math>x_0</math> можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки <math>y_0</math>. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из <math>\pi(X, x_0)</math> в <math>\pi(Y, y_0)</math>. Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
• Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и кодифференциал диффеоморфизма задают контравариантный функтор.

  Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.

• Тензорное произведение: если <math>\mathcal{C}</math> — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор <math>\mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}</math>, ковариантный по обоим аргументам.
• Шаблон:Iw — произвольные контравариантные функторы из симплициальной категории в различные категории (в категорию множеств — симплициальное множество, в категорию групп — Шаблон:Iw и другие); конструкции, обобщающие понятие симплициального комплекса, играют важную роль в алгебраической топологии.
• Функтор <math>\operatorname{Gal}: \mathbf{Fld}^\mathrm{op} \to \mathbf{Grp}</math> сопоставляет полю <math>F</math> его абсолютную группу Галуа <math>\operatorname{Gal}(\bar F / F)</math>, а гомоморфизму полей — соответствующийШаблон:Прояснить гомоморфизм групп Галуа.

Свойства

• Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
• Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
• Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Связь с другими категорными понятиями

Пусть <math>\mathcal{C}</math> и <math>\mathcal{D}</math> — категории. Множество всех морфизмов <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — С. 43—67.
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web