Русская Википедия:Функции Джека

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике, функции Джека получаются как проективный предел многочленов Джека, введённых Шаблон:Iw. Многочлен Джека это однородный, симметрический многочлен который обобщает многочлены Шура и Шаблон:Iw, и, в свою очередь, обобщён Шаблон:Iw и Шаблон:Iw.

Определение

В кольце <math> \Lambda^n </math> однородных симметрических функций степени n можно ввести скалярное произведение следующим образом: <math> <p_{\lambda}, p_{\mu}>=z_{\lambda}\delta_{\mu \lambda} </math>, где <math> p_{\lambda}(x) </math> — базис из степенных сумм, <math> z_{\lambda} </math> — централизатор разбиения <math> \lambda </math>, а <math> \delta_{\mu \lambda} </math> — символ Кронекера. При таком определении скалярного произведения функции Шура образуют ортонормированный базис, а матрица перехода от мономиального базиса <math> m_{\lambda} </math> к базису из функций Шура <math> s_{\lambda} </math> будет верхнетреугольной.

Более общий вариант задания скалярного произведения <math> <p_{\lambda}, p_{\mu}>=\alpha^{l(\lambda)} z_{\lambda}\delta_{\mu \lambda} </math> приводит к рассмотрению базиса из функций Джека со схожими свойствами. Они обозначаются <math> J_{\lambda}(x;\alpha) </math> и однозначно определяются из следующих трёх свойств:

(P1) (ортогональность) <math> <J_{\lambda}(\alpha), J_{\mu}(\alpha)>=0 </math> при <math> \lambda \not= \mu </math>

(P2) (верхнетреугольность) <math> J_{\lambda}(\alpha)= \sum\limits_{\mu \le \lambda} \nu_{\lambda \mu} m_{\mu} </math>

(имеется ввиду естественный частичный порядок на разбиениях)

(P3) (нормализация) <math> [m_{\lambda}] J_{\lambda}(\alpha)= h_{\lambda}(\alpha) = \prod\limits_{s\in \lambda} (\alpha a(s)+l(s)+1) </math>

(суммирование ведётся по ячейкам разбиения, a(s) - число ячеек справа от s, l(s) - число ячеек под s)

Т.е. функции Джека являются результатом ортогонализации методом Грамма-Шмидта мономиального базиса.

Рекурсивная формула для многочленов Джека

Функция Джека <math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)</math> разбиения числа <math>k</math>, с параметром <math>\alpha</math>, заданным числом аргументов <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math> может также быть определена следующей рекурсивной формулой:

Для m=1

<math>J_{\kappa}^{(\alpha )}(x_1)=x_1^k(1+\alpha)\cdots (1+(k-1)\alpha)</math>

Для m>1

<math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\sum_\mu

J_\mu^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_{m-1}) x_m^{|\kappa /\mu|}\beta_{\kappa \mu}, </math>

где суммирование производится по всем разбиениям <math>\mu</math> таким что косое разбиение <math>\kappa/\mu</math> является горизонтальной полосой, а именно

<math>

\kappa_1\ge\mu_1\ge\kappa_2\ge\mu_2\ge\cdots\ge\kappa_{n-1}\ge\mu_{n-1}\ge\kappa_n </math> (<math>\mu_n</math> должно равняться 0, иначе <math>J_\mu(x_1,\ldots,x_{n-1})=0</math>) и

<math>

\beta_{\kappa\mu}=\frac{

\prod_{(i,j)\in \kappa} B_{\kappa\mu}^\kappa(i,j)

}{ \prod_{(i,j)\in \mu} B_{\kappa\mu}^\mu(i,j) }, </math>

где <math>B_{\kappa\mu}^\nu(i,j)</math> равняется <math>\kappa_j'-i+\alpha(\kappa_i-j+1)</math> если <math>\kappa_j'=\mu_j'</math> и <math>\kappa_j'-i+1+\alpha(\kappa_i-j)</math> иначе. Выражения <math>\kappa'</math> и <math>\mu'</math> обозначают сопряжённые разбиения <math>\kappa</math> и <math>\mu</math> соответственно. Обозначение <math>(i,j)\in\kappa</math> значит, что произведение берётся по всем координатам <math>(i,j)</math> ячеек в диаграмме Юнга разбиения <math>\kappa</math>.

Комбинаторная формула

В 1997, Ф. Кноп и С. Сахи Шаблон:Sfn получили чисто комбинаторную формулу для многочленов Джека <math>J_\mu^{(\alpha )}</math> от n переменных:

<math>J_\mu^{(\alpha )} = \sum_{T} d_T(\alpha) \prod_{s \in T} x_{T(s)}.</math>

Сумма берётся по всем допустимым таблицам формы <math>\lambda,</math> и

<math>d_T(\alpha) = \prod_{s \in K} d_\lambda(\alpha)(s),</math>

где

<math>d_\lambda(\alpha)(s) = \alpha(a_\lambda(s) +1) + (l_\lambda(s) + 1).</math>

Допустимая таблица формы <math>\lambda</math> это заполнение диаграммы Юнга <math>\lambda</math> числами 1,2,…,n такими, что для каждой ячейки (i,j) в таблице,

• <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math>, если <math>i'>i.</math>
• <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math>, если <math>j>1</math> и <math>i'<i.</math>

<math> K \subset T </math> — множество критических ячеек <math>s = (i,j) \in \lambda</math>, таких что <math>j > 1</math> и <math>T(i,j)=T(i,j-1).</math>

Этот результат можно рассматривать как особый случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда.

C нормализация

Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметрических многочленов, со следующим скалярным произведением:

<math>\langle f,g\rangle = \int_{[0,2\pi]^n} f \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right ) \overline{g \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right )} \prod_{1\le j<k\le n} \left |e^{i\theta_j}-e^{i\theta_k} \right |^{\frac{2}{\alpha}} d\theta_1\cdots d\theta_n</math>

Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Нормализация, описанная выше, обычно обозначается J нормализацией. C нормализация определена как

<math>C_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha^{|\kappa|}(|\kappa|)!}{j_\kappa} J_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n),</math>

где

<math>j_\kappa=\prod_{(i,j)\in \kappa} \left (\kappa_j'-i+\alpha \left (\kappa_i-j+1 \right ) \right ) \left (\kappa_j'-i+1+\alpha \left (\kappa_i-j \right ) \right ).</math>

Для <math>\alpha=2, C_\kappa^{(2)}(x_1,\ldots,x_n)</math> обычно обозначается <math>C_\kappa(x_1,\ldots,x_n)</math> и называется Шаблон:Iw.

P нормализация

P нормализация задаётся тождеством <math>J_\lambda = H'_\lambda P_\lambda</math>, где

<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1),</math>

где <math>a_\lambda</math> и <math>l_\lambda</math> обозначают число ячеек справа от данной и число ячеек ниже данной соответственно. Таким образом, при <math>\alpha=1, P_\lambda</math> является обычной функцией Шура.

Подобно многочленам Шура, <math>P_\lambda</math> может быть выраженно суммой по диаграммам Юнга. Однако, нужно добавить к каждой таблице дополнительный вес, зависящий от параметра <math>\alpha</math>.

Таким образом, формула Шаблон:Sfn для функций Джека <math>P_\lambda </math> задаётся как

<math> P_\lambda = \sum_{T} \psi_T(\alpha) \prod_{s \in \lambda} x_{T(s)},</math>

где сумма берётся по всем таблицам формы <math>\lambda</math>, и <math>T(s)</math> обозначает число, записанное в ячейке s таблицы T.

Вес <math> \psi_T(\alpha) </math> можно определить следующим образом: Каждая таблица T формы <math>\lambda</math> может быть представлена как последовательность разбиений

<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda,</math>

где <math>\nu_{i+1}/\nu_i</math> обозначает косую форму с содержимым i в T. Тогда

<math> \psi_T(\alpha) = \prod_i \psi_{\nu_{i+1}/\nu_i}(\alpha),</math>

где

<math>\psi_{\lambda/\mu}(\alpha) = \prod_{s \in R_{\lambda/\mu}-C_{\lambda/\mu} } \frac{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) +1)}{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) + \alpha)} \frac{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + \alpha)}{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) +1)}

</math>

и произведение берётся только по всем ячейкам s в <math>\lambda</math>, таким что s имеет ячейку из <math>\lambda/\mu</math> в том же ряду, но не в одном столбце .

Связь с многочленами Шура

При <math>\alpha=1</math> многочлен Джека является скалярным множителем многочлена Шура

<math>

J^{(1)}_\kappa(x_1,x_2,\ldots,x_n) = H_\kappa s_\kappa(x_1,x_2,\ldots,x_n), </math> где

<math>

H_\kappa=\prod_{(i,j)\in\kappa} h_\kappa(i,j)= \prod_{(i,j)\in\kappa} (\kappa_i+\kappa_j'-i-j+1) </math> произведение берётся по всем длинам крюков разбиения <math>\kappa</math>.

Характеры Джека

Рассмотрим разложения функций Джека по степенному базису. Коэффициенты этого разложения <math> \theta_{\mu}^{\lambda} (\alpha) </math> называются характерами Джека: <math> J_\lambda^{(\alpha )}= \sum_{\rho} \theta^{\lambda}_{\rho} p_{\rho} . </math>

Для некоторых характеров Джека получены следующие формулы:

<math> \theta_{(1^n)}^{\lambda} (\alpha) = 1, </math>

<math> \theta_{(1^{n-2}2^1)}^{\lambda} (\alpha) = \sum_{s \in \lambda} (\alpha a'(s) - l'(s) ), </math>

<math> \theta_{(n)}^{\lambda} (\alpha) = \prod_{s \in \lambda \setminus {(1,1)}} (\alpha a'(s) - l'(s) ), </math>

<math> \theta_{\mu}^{(n)} (\alpha) = \frac{n!}{z_{\mu}} \alpha^{n- l(\mu)}, </math>

<math> \theta_{(1^n)}^{\lambda} (\alpha) = \theta_{\mu}^{(n)} (-1) = \frac{n!}{z_{\mu}} (-1)^{n- l(\mu)}, </math>

где <math> a'(s) </math> — число ячеек слева от s в диаграмме Юнга, <math> l'(s) </math> — над s, <math> z_{\lambda} </math> — централизатор разбиения <math> \lambda = [1^{m_1(\lambda)} 2^{m_2(\lambda)} \dots ] </math>, равный <math> z_{\lambda} = \prod_i i^{m_i(\lambda)} m_i(\lambda)!</math>

Свойства характеров Джека:

• Характеры Джека являются многочленами с целыми коэффициентами от <math> \alpha </math>.
• Соотношение ортогональности. <math> \sum_{\nu} z_{\nu} \alpha^{l(\nu)} \theta_{\nu}^{\lambda}(\alpha)\theta_{\nu}^{\mu} (\alpha)= \delta_{\lambda \mu} h_{\lambda}(\alpha) \cdot h'_{\lambda}(\alpha). </math>
• При <math> \alpha =1 </math> характеры Джека пропорциональны характерам симметрической группы ( <math> S_n </math>, где <math> n = |\lambda| </math>), откуда они и получили своё название.

Свойства

Если разбиение имеет больше частей, чем число переменных, то многочлен Джека равняется 0:

<math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)=0 </math>, если <math>\kappa_{m+1}>0.</math>

Аргумент матрицы

Иногда, особенно в теории случайных матриц, авторы находят более удобным использование матричного аргумента в многочленах Джека. Их связь довольно проста. Если <math>X</math> матрица с собственными значениями <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math>, тогда

<math>

J_\kappa^{(\alpha )}(X)=J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m). </math>

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Software for computing the Jack function by Plamen Koev and Alan Edelman.
• MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package)
• SAGE documentation for Jack Symmetric Functions