Русская Википедия:Функции Йоста

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функции Йоста (решения Йоста, Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-en) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Математическое определение

Постановка задачи

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера вида

<math>H = - \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d x^2} + u(x),\quad x \in \mathbb R,</math>

где потенциал <math>u(x)</math> определен на множестве действительных чисел как функция, принадлежащая к классу локально интегрируемых. Соответствующая задача нахождения собственных чисел <math>\lambda=k^2</math> будет иметь видШаблон:Sfn

<math>-\psi(x) + u(x)\psi(x) = k^2\psi(x).</math>

Определение

Наложим на потенциал условие в виде

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty (1+|x|)|u(x)|\mathrm dx < \infty,</math>

означающее, что функция <math>u(x)</math> спадает при <math>|x|\to\infty</math> быстрее, чем 1/x². Это означает, что для действительных k существуют решения одномерного уравнения Шрёдингера, однозначно определяемые асимптотиками на бесконечности

<math>f_1(x,k) = e^{-ikx} +o(1),\quad x\to-\infty,</math>

<math>f_2(x,k) = e^{ikx} +o(1),\quad x\to\infty,</math>

называемые решениями ЙостаШаблон:Sfn в честь швейцарского физика Реса Йоста.Шаблон:Sfn В общем случае (так же и для комплексных k) можно показать, что при заданном выше условии на <math>u(x)</math>, существует четыре решения одномерного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие интегральным уравнениям

<math>f_1(x,k) = e^{-ikx} - \int\limits_{-\infty}^x \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)f_1(\xi,k)\mathrm d\xi,</math>

<math>\overline{f_1}(x,k) = e^{-ikx} - \int\limits_{-\infty}^x \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)\overline{f_1}(\xi,k)\mathrm d\xi,</math>

<math>f_2(x,k) = e^{ikx} + \int\limits_x^\infty \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)f_2(\xi,k)\mathrm d\xi,</math>

<math>\overline{f_2}(x,k) = e^{ikx} + \int\limits_x^\infty \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)\overline{f_2}(\xi,k)\mathrm d\xi,</math>

где черта сверху означает комплексное сопряжение. При этом сами функции и их производные по x непрерывны по k при <math>\mathrm Im\, k \ge 0</math> и аналитичны при <math>\mathrm Im\, k > 0</math> и эти решения единственные.Шаблон:Sfn Уравнения для функций Йоста можно получить непосредственно из граничных условий и уравнения Шрёдингера с помощью функции Грина в виде

<math>G(x,\xi, k) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{\sin k(\xi - x)}{k}, & \xi < x\\ 0,& \xi > x\end{array} \right.,</math>

или непосредственной подстановкой.Шаблон:Sfn

Использование

Функции Йоста применяются в задачах рассеяния и теории солитонов.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга
4. Шаблон:Книга
5. Шаблон:Книга